Уравнения, допускающие понижение порядка.

3.1.1. Уравнение .

Решение этого уравнения находитсяпутем последовательного двукратного интегрирования:

,

.

Замечание 6. Решение уравнения вида находится аналогично – путем последовательного n -кратного интегрирования и содержит n произвольных вещественных постоянных , ,…, .

Пример 10. Найти общее решение уравнения .

Решение. ,

.

3.1.2. Уравнение , не содержащее в явном виде y.

Полагая , ,приходим к уравнению первого порядка .

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Решение. Полагая , , приходим к уравнению с разделяющимися переменными , то есть . Разделяя переменные, получим . Интегрируя, находим . Упростив, имеем .

Так как , то .

3.1.3. Уравнение , не содержащее в явном виде x.

Полагая , , приходим к уравнению первого порядка , где y играет роль независимой переменной.

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Решение. Полагая , , получим уравнение . Разделив обе части на z, получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные, приходим к уравнению . Интегрируя, находим , откуда получаем . Так как , приходим к уравнению . Разделяя переменные и интегрируя, получаем . Окончательно общее решение имеет вид , где .

Индивидуальное задание к параграфу 3.1.

Найти общее решение уравнения.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Дата добавления: 2015-08-10