Сравнение средних.

Не менее важной, чем сравнение дисперсий, является задача о сравнении средних. Например, проводя наблюдения одного и того же объекта в течение длительного времени, мы должны проверять, ос­тается ли при этом неизменным истинное значение изме­ряемой величины.

Пусть заданы две случайные выборки: х₁, х₂,..., х_n1 и y₁ , y₂,…y_n2 взятые из нормально распределенных генеральных совокупностей. Пусть генеральное среднее и генеральная дисперсия первой совокупности равны a₁ и , второй — a₂ и . Тогда среднее первой выборки есть нормально распределенная случайная величина с параметрами a₁ и , среднее у₁ второй выборки есть нормально распределенная случайная величина с параметрами а₂ и . Рассмотрим случайную величину .

На основании свойств математического ожидания и дисперсии находим, что

,

.

Более того, распределение величины также является нормальным в силу линейности нормального распределения, поэтому и будут параметрами этого распределения. Это позволяет дать оценку разности а₁ - а₂ с помощью квантилей стандартного нормального распределения так, как это было уже сделано. При доверительной вероятности (1 – р) мы получим двустороннюю доверительную оценку:

или односторонние оценки:

,

Если высказывается гипотеза а₁ = а₂ (нулевая гипотеза), то полученные оценки могут служить критериями проверки этой гипотезы. Действительно, если нулевая гипотеза верна, то должны выполняться (с вероятностью 1—р) все записанные выше неравенства, где вместо а₁ - а₂,_ стоит нуль. Нарушение каждого такого неравенства имеет вероятность р, в силу чего оно является значимым (неслучайным) событием. Таким образом, гипотеза а₁ = а₂ отвергается, если выполнено неравенство

при двустороннем критерии или неравенство

при одностороннем критерии. Напомним, что односторонний критерий применяется тогда, когда заранее известно, что большему выборочному среднему ( или ) не может соответствовать меньшее генеральное среднее.

Указанные критерии просты и надежны, но они требуют знания и , что не всегда возможно, особенно при обработке малых выборок. Если генеральные дисперсии и неизвестны и можно оперировать только выборочными дисперсиями и , то приходится обращаться к распределению Стьюдента.

Предположим вначале, что . Это равенство можно проверять по заданным и , с помощью изложенного в предыдущем пункте критерия Фишера. В этом случае генеральную дисперсию можно оценивать средневзвешенной дисперсией

Число степеней свободы у s² равно f = n₁+n₂—2.

Дисперсия величины имеет теперь простой вид

На основании общих правил нормированная случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение. Если же заменить на s, то получится величина

имеющая распределение Стьюдента с f степенями свободы.

Используя квантили Стьюдента , мы можем теперь записать доверительные оценки для раз­ности а₁ — а₂, не содержащие неизвестной генеральной дисперсии . При доверительной вероятности 1—р имеем двустороннюю оценку

или односторонние оценки

Вернемся вновь к рассмотрению нулевой гипотезы а₁ = а₂. Те же рассуждения, что и раньше, дадут нам критерий проверки этой гипотезы с помощью распределения Стьюдента:

нулевая гипотеза отвергается, если

при двустороннем критерии или

при одностороннем критерии. Напомним, что в оценках используются квантили величины t, соответствующие f =(n₁ +n₂ - 2) степеням свободы.

Сравним с помощью полученного критерия производительность некоторого завода (с установившимся произ­водственным процессом) в дневную и ночную смены. Среднемесячная (п = 30) выработка дневной смены тыс. руб., ночной смены тыс. руб., дисперсии соответственно равны и .

Сначала сравним дисперсии по критерию Фишера:

Различие между дисперсиями оказывается незначимым, поэтому можно применять t - критерий. Найдем средневзвешенную дисперсию

,

откуда . Число степеней свободы f = 58. Из таблицы квантилей Стьюдента находим t_0,95 = 1,67, поэтому

.

Мы видим, что Значит, при 5%-ном уровне значимости разницу между производителями дневной и ночной смены нужно считать значимой.

Заметим, что мы здесь рассматривали односторонний критерий, так как средние данные позволяют предполагать, что в ночную смену производительность ниже. Если бы мы не делали этого предположения и применили двусторонний критерий, то пришлось бы взять t_0,975 = 2,00. Читателю нетрудно убедиться, что и при двустороннем критерии расхождение средних производительностей является значимым.

Рассмотрим теперь общий случай, когда генеральные дисперсии и не равны между собой. Полученные выше точные критерии оказываются в этом случае не пригодными. Существует несколько приближенных критериев, позволяющих проверять гипотезу о равенстве генеральных средних с той или иной точностью. Приведем один, наиболее распространенный и удобный в работе.

Пусть, как и прежде, и есть дисперсии первой и второй выборок и пусть первой дисперсии соответствуют f₁ = n₁ -1, а второй f₂ = n₂ -1 степеней свободы. Вычислим отношения

По таблице III Приложения найдем квантили (т. е. для f₁ степеней свободы) и . Наконец, вычислим величину

Нулевая гипотеза a₁ = a₂ отклоняется, если окажется, что . Заметим, что сформулированный критерий является двусторонним и превращается в односторонний при замене на р.

Рассмотрим в качестве примера результаты опытов, проделанных в начале нашего столетия английским физиком Рэлеем. Он сравнивал вес одного и того же объема азота, полученного после тщательнейшей химической очистки из азотистых соединений (в дальнейшем обозначается через х) и из воздуха (обозначается через у). Измерения проводились при неизменных условиях (15°С и 760 мм рт. ст.), результаты измерений приведены в таблице 1.2. Непосредственный подсчет средних дает и , откуда .

x	y	x	y
2301,43	2310,17	2299,40	2310,10
2298,90	2309,86	2298,49	2310,28
2298,16	2310,10	2298,89	2310,35
2301,82	2310,01		2310,26
2298,69	2310,24		2310,24

Таким образом, получается, что, несмотря на тщательнейшую очистку, азот воздуха почти на - тяжелее азота, полученного из соединений.

Величина 10,69 невелика по сравнению с самими и , поэтому можно предположить, что она связана с неточностью измерений, с недостаточной очисткой азота и другими случайными причинами. Имея данные Рэлея, мы можем проверить, действительно ли расхождение случайно или оно значимо. В качестве уровня значимости возьмем самый низкий из имеющихся в таблице III Приложения, т. е. p = 0,001. Этот уровень позволяет считать значимыми (неслучайными) примерно в 50 раз меньше событий, чем общепринятый уровень 0,05. Благодаря такому выбору уровня значимости мы будем максимально застрахованы от ошибки первого рода — возможности отвергнуть гипотезу о равенстве средних, в то время как она верна.

Итак, приступим к проверке гипотезы а₁ = а₂. Непосредственный подсчет дает значения и с f₁ = 7 и f₂ = 9 степенями свободы. Отношение этих дисперсии намного превосходит табличное значение , поэтому дисперсии измерений нужно считать различными и для сравнения средних использовать приближенный критерий. Находим , .

Из таблицы берем квантили Стьюдента , . Отсюда

,

и значит, . Гипотезу о равенстве средних нужно отбросить (ее вероятность меньше p = 0,001).

Из проведенного сравнения средних вытекает, что расхождение между весом азота из воздуха и из соединений не является случайным. Это заставило ученых более внимательно исследовать азот, полученный из воздуха, и вскоре было показано, что в нем содержится небольшое количество газа, более тяжелого, чем азот,— аргона.

Дата добавления: 2015-08-10