Операторы

Регулярные функции

Со школьных времен вам знакомо понятие функции: функция – это правило, согласно которому всякому числу x (из области определения) ставится в соответствие число y. Нам в нашем курсе понадобятся функции, вообще говоря, комплексные, отвечающие требованиям регулярности: они должны быть конечны во всей области определения, однозначны и непрерывны. Эти условия необходимы (хотя и недостаточны) для выполнения еще одного важного требования: эти функции должны быть квадратично интегрируемы, т.е. если j – регулярная функция, а j* – ее комплексно сопряженную, то интеграл должен иметь конечное значение.

Если такой интеграл равен единице, функцию называют нормированной.

Пару функций, для которых , называют ортогональными.

Операторы

При обсуждении законов квантовой механики наряду с функциями удобно ввести еще один класс математических объектов – операторы.

Оператор – это правило, согласно которому уже каждой функции f ставится в соответствие другая функция .

(обратите внимание: операторы часто обозначают такой «шляпкой»). Пусть, например, оператор задает дифференцирование функции. Тогда для функции действие такого оператора даст , т.е. наш оператор переводит функцию sin x в новую функцию cos x.

Все ли понимают, что на другую функцию этот оператор будет действовать по-другому? Например, во что превратится функция u (x) = sin 2 x?

Понятно, что не на всякую функцию можно подействовать оператором. Так, наш оператор дифференцирования можно применять только к дифференцируемым функциям.

Кстати, а кто-нибудь может привести пример недифференцируемой функции? Ну, например, y (x) = | x |. Заодно запомним: Не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Поэтому, задавая оператор, определяют класс функций, на которые он действует. Говорят, что оператор определен на классе дифференцируемых функций.

Приведем еще несколько примеров.

1. Пусть f (x) – функция одной переменной, а оператор . Тогда . Действие оператора сводится к умножению функции на аргумент.

2. Действие оператора приводит к .

3. Заметим, что наша функция может быть функцией многих переменных, тогда , оператор задает дифференцирование по переменной x.

Вы, наверное, догадываетесь, что функцию можно подвергнуть и нескольким преобразованиям. Определим сумму операторов как .

Под произведением операторов будем понимать . Пусть, например, , , тогда

.

При этом произведение

,

т.е. умножение операторов некоммутативно.

Оператор (AB – BA), обозначаемый [ A, B ], называется коммутатором. Если [ A, B ] = 0, то говорят, что операторы коммутируют.

Найдем коммутатор наших операторов :

.
Таким образом, коммутатор равен 1.

Полезно ввести понятия единичного оператора, такого, что для любой функции , и обратного оператора А ^–1, такого что А ^–1 А = AA ^–1 = I.

Дата добавления: 2015-08-09