Коммутация и собственные функции

Следующие две теоремы связывают системы собственных функций двух операторов с коммутационными отношениями между ними.

Теорема 4. Если операторы A и B имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют.

Дано:

1. ;

2.

Требуется доказать: [ A, B ] = 0

Подействуем на (1) оператором В:

[ A, B ] j _n = (AB – BA) j _n = AB j _n – BA j _n = Ab_n j _n – Ba_n j _n = b_nA j _n – a_nB j _n = b_na_n j _n – a_nb_n j _n = 0

Теорема 5. Если операторы A и B коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций. Мы докажем эту теорему только для невырожденного случая, хотя можно показать (пощадим маленьких!), что она справедлива и при наличии вырождения.

Дано:

1. ;

2. [ A, B ] = 0

Требуется доказать: , т.е. функции j _n, собственные для А, будут собственными и для В.

Подействуем на (1) оператором В.

BA j _n = Ba_n j _n = a_nB j _n.

Поскольку [ A, B ] = 0, AB – BA = 0 и AB = BA.

АB j _n = BA j _n = Ba_n j _n = a_nB j _n.. Еще раз:

А (B j _n) = a_n (B j _n)

Что видим? Функция y _n = B j _n является собственной функцией оператора А, соответствующей собственному значению a_n. Но тогда (в невырожденном случае) это должна быть либо j _n, либо отличаться от нее на постоянный множитель (помните?) b_n, т.е. .

И напоследок

Теорема 6. Система собственных функций операторного уравнения полна.

Мы не станем доказывать эту теорему, но рассмотрим важные следствия из нее.

Если есть полный набор ортогональных функций j₁, j₂, j₃ … j_N, то любая произвольная функция y, определяемая в той же области переменных и имеющая те же граничные условия, что и собственные функции j _i, может быть представлена в виде .

Полнота системы функций, по которым проводится разложение, означает, что в бесконечном пределе разложение может быть выполнено точно. Если же система базисных функций неполна, или мы ограничиваемся конечным рядом, мы будем иметь дело с приближенным разложением.

Ортогональность функций, по которым проводится разложение, вообще говоря, необязательна, но с нею жить гораздо легче. Почему?

Рассмотрим ряд

Используем знакомый прием: домножим все это слева на j _k * и проинтегрируем:

поскольку набор ортогонален, все интегралы, кроме одного, равны нулю, и

,

а если наши функции еще и нормированы, то . Тем самым мы определили коэффициенты разложения, причем определили их однозначно. Самое интересное, что эти коэффициенты не зависят от длины разложения.

Остается рассмотреть лишь условия нормировки волновой функции, разложенной в ряд.

Пусть имеется и, соответственно, .

Обратите внимание: в этих разложениях мы используем разные индексы! Это и понятно: элемент, выбираемый из одного разложения никак не должен зависеть от выбора элемента в другом разложении.

Для нормированной функции y

.

Нам придется привыкать к таким суммам. На самом деле, нам придется перемножить «всех со всеми». При этом будут возникать интегралы вида

, большинство из которых (при разных i и j) равны нулю, а при нормированных j _i интегралы . Что останется?

Дата добавления: 2015-08-09