Принцип суперпозиції магнітних полів. Теорема про циркуляцію вектора напруженості магнітного поля.

Як і електричне, поле, створене системою точкових зарядів в будь-якій точці простору, визначатиметься принципом суперпозиції, так само і магнітне поле, створене системою струмів, визначатиметься принципом суперпозиції магнітних полів. Сформулюємо принцип суперпозиції магнітних полів: якщо поле створене декількома струмами та результуюча напруженість визначатиметься в даному місці векторною сумою напруженостей, створених кожним окремим струмом.

При вивченні взаємодії паралельних струмів ми використали формулу, яка описує індукцію магнітного поля, створеного прямолінійним провідником із струмом І на відстані r від цього провідника.

, (4.1.)

або використовуючи зв'язок між напруженістю та індукцією отримаємо, що

. (4.2.)

Використовуючи принцип суперпозиції, переконаємося в справедливості цієї формули. Для цього розглянемо прямолінійний провідник із струмом, розміщений у вакуумі так, як це зображено на мал.4.1. - напруженість магнітного поля, створеного елементом струму в досліджуваній точці D, розміщеній на відстані R від провідника із струмом. Для розрахунку будемо використовувати закон Біо-Савара-Лапласа.

. (4.3.)

Враховуючи, що , попередню формулу запишемо у вигляді

, (4.4.)

Неважко помітити, що , а також, що , тобто підставимо отримане в (4.4.) отримаємо, що

, (4.5.)

але - це напруженість магнітного поля, створеного не провідником із струмом, а елементом струму. Для того, щоб визначити напруженість , яка створюється цілим провідником в досліджуваній точці D, потрібно використати принцип суперпозиції, тобто просумувати поля, створені елементами струму, на які можна розбити весь провідник. Сумування, оскільки ми маємо неперервну множину елементів і їх кількість є нескінченною, зручно замінити інтегруванням, і оскільки ми маємо провідник нескінченної довжини, а змінною величиною в (4.5.) є кут, то інтегрування потрібно проводити по куту в межах від до , проведемо це інтегрування.

отже напруженість - , відповідно індукція , де - відстані до провідника, що і потрібно було показати.

Формулу (4.2.) використовують для становлення одиниці вимірювання напруженості магнітного поля, одиницею вимірювання є , 1 - це напруженість магнітного поля в точці, яка розміщується на відстані м від нескінченно довгого прямолінійного провідника, по якому протікає струм в 1 А.

Розглянемо циркуляцію вектора напруженості магнітного поля, створеного прямолінійним провідником із струмом, вздовж замкнутого контуру, розміщеного в площині перпендикулярній провіднику мал. 4.2.

(4.6.)

Враховуючи що , а

Отримаємо, що

. (4.7.)

Формулу (4.7.) називають теоремою повних струмів для лінійного струму. Якщо поверхню обмежену контуром пронизує декілька струмів (мал.4.3.), то формула (4.7.) набуває вигляду

(4.8.)

За додатній напрям обходу контуру вибирають напрям руху стрілки годинника. В лівій частині останньої рівності ми маємо алгебраїчну суму струмів, тобто матимемо як додатні, так і від’ємні струми. Для визначення знака струмів користуються правилом знаків. Для цього спочатку визначають додатній напрям нормалі, за правилом правого буравчика та додатного напряму обходу контуру, до плоскої поверхні, обмеженої контуром. Струми, які утворюють гострий кут з нормаллю, вважають додатними, а тупий-меншими нуля.

Формула (4.8.) застосовна до дискретних струмів. У випадку, коли ми матимемо неперервний розподіл струму густиною , в певному середовищі, де знаходиться контур , то теорема повних струмів набуде іншого вигляду. Відомо, що в такому випадку

, (4.9.)

Підставивши (4.9.) в (4.7.), отримаємо

(4.10.)

Узагальнюючи формули (4.7.), (4.8.), (4.10.), можна зробити висновок, що циркуляція вектора напруженості магнітного поля по замкнутому контуру завжди рівна повному струму, який проходить через поверхню, обмежену даним контуром.

Використовуючи формулу Стокса, формулу (6) можна записати в диференціальній формі.

(4.11.),

або

(4.12.)

(7), (8) є теоремою повних струмів у диференціальній формі.

Наведені вище формули та міркування підтверджують результати фізичних експериментів, згідно з якими магнітне поле є вихровим - математично (з курсу вищої математики відомо, що векторні поля для яких ротор вектора або циркуляція вектора не рівні нулю, є вихровими).

Дата добавления: 2015-08-09