Риск портфеля ценных бумаг. Стандартное отклонение одного актива.

Стандартное отклонение доказало свою эффективность в большинстве ситуаций, с которыми сталкиваются практики. В тех случаях, когда оно не является адекватной мерой, альтернативы должны рассматриваться не только в свете того, как хорошо они описывают распределение доходности, но и с точки зрения сложностей, которые они вносят в анализ. Стандартное отклонение актива является квадратным корнем из дисперсии этого актива, то есть дисперсией доходности акции в расчете на год. Дисперсия является показателем рассеяния фактических значений доходности акции вокруг ее средней доходности. Размерность дисперсии представляет собой квадрат доходности акции. Если учитывается доходность в процентах, то размерность дисперсии – это процент в квадрате. Показателем такой размерности не всегда удобно пользоваться, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение доходности. Рассмотрим, как вычисляется стандартное отклонение одного актива:

(5)

Где xi – изменение доходности ценной бумаги за i-ый период;
x – изменение доходности ценной бумаги за i-1-ый период;
n – количество периодов;

Стандартное отклонение измеряется уже в процентах, т.е. в тех же единицах, что и сама доходность.

Рассматривая технику определения стандартного отклонения, мы оперировали временным периодом n. На практике возникает задача определения стандартного отклонения для различных временных периодов.
Если имеется значение стандартного отклонения за год, то для определения его за один день надо стандартное отклонение в расчете на год разделить на корень квадратный из количества торговых дней в году. В году насчитывается порядка 252 дней. Поэтому стандартное отклонение доходности актива за день получим по формуле:

(6)

Из примера, приведенного выше, в котором отражается стандартное отклонение в расчете на один день, можно вывести формулу стандартного отклонения в расчете на год, при условии, что мы имеем значение стандартного отклонения за определенный промежуток времени. В главе 3 расчеты производятся на основании недельных котировок, поэтому полученное стандартное отклонение будет отражать риск отдельного актива за недельный период. Следовательно, стандартное отклонение в расчете на год будет равняться произведению из стандартного отклонения за неделю и квадратного корня из количества недель. Поскольку происходит анализ данных в течение одного года, то количество недель, принимаемых для расчета, будет равняется 52. Стоит уточнить, что такой метод нахождения риска актива в расчете на год будет носить приближенный характер.

Доходность актива является непрерывной случайной величиной и подчиняется некоторому вероятностному распределению. Наиболее часто в жизни встречается нормальное распределение. Оно возникает в том случае, когда на случайную величину оказывает влияние множество факторов, каждый из которых не имеет определяющего значения. График кривой нормального распределения (его еще называют графиком плотности вероятности) случайной величины приведен на рис. 1.3. По оси абсцисс представлена область возможных значений случайной величины X, по оси ординат - плотность распределения вероятностей случайной величины X. В самом общем виде можно дать следующее определение плотности вероятности: это вероятность, приходящаяся на единицу длины отрезка, на котором может принимать значения случайная величина. Если быть более точным, то она характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.
Плотность распределения f(x) является одной из форм закона распределения случайной величины, но существует только для непрерывных случайных величин:

Рис.1. График кривой нормального распределения

График кривой нормального распределения симметричен относительно среднего значения случайной величины, которое называют еще математическим ожиданием случайной величины. На графике точка а является математическим ожиданием случайной величины X. Сама случайная величина может принимать любые отрицательные и положительные значения. Правая и левая ветви графика асимптотически приближаются к оси абсцисс. Вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Если нас интересует вероятность попадания случайной величины на какой-либо интервал оси абсцисс, то она будет равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения, снизу - осью абсцисс, по бокам - перпендикулярами, проходящими через концы интервала.. Нормальное распределение полностью определяется двумя характеристиками случайной величины - ее математическим ожиданием и стандартным отклонением. Таким образом, зная математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины, мы имеем полную картину вероятностного распределения ее возможных значений.
Стандартное отклонение характеризует степень рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Кроме этого, оно говорит о вероятности того, что значение случайной переменной окажется в некотором интервале. Для нормально распределенной случайной величины полезно запомнить так называемое "правило трех сигм". Оно говорит о том, что вероятность получить значение случайной переменной в диапазоне одного стандартного отклонения от ее средней величины равно 68,3%, в диапазоне двух стандартных отклонений - 95,4%, трех стандартных отклонений - 99,7%. Остается еще 0,3% вероятности того, что случайная величина примет любое другое значение, выходящее за рамки отмеченных границ. Таким образом, стандартное отклонение доходности актива выступает мерой степени и вероятности разброса ее возможных значений вокруг ее средней доходности (математического ожидания).

Как сказано выше, риск ценной бумаги измеряется такими показателями как дисперсия или стандартное отклонение. Поэтому ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений (дисперсий) входящих в него бумаг. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений (дисперсий) доходностей бумаг. Дело в том, что разные активы могут не одинаково реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различных бумаг в ряде случаев будут погашать друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени. Поэтому при формировании портфеля ценных бумаг инвестору необходимо знать, каким образом будет изменяться доходность одного актива при изменении доходности другого актива.

На финансовом рынке зависимость между доходностями ценных бумаг часто бывает не функциональной, т. е. не жесткой. В этом случае одному значению доходности одной бумаги могут соответствовать разные значения доходности другой бумаги. Таким образом, не наблюдается строгого закона, который бы связывал значения их доходностей. Зависимость подобного рода называют стохастической или вероятностной, или статистической. Это означает, что при изменении доходности одной бумаги можно говорить лишь о том, какие значения доходности может принять другая бумага и с какой вероятностью. Такое положение вещей объясняется существованием большого количества факторов, влияющих на доходности конкретных активов и тем, что все их сложно учесть.

При формировании портфеля степень взаимосвязи между доходностями двух ценных бумаг можно определить с помощью таких показателей как ковариация и коэффициент корреляции. Поэтому, для расчета риска портфеля, состоящего из нескольких активов, понадобится найти эти показатели.

Для начала стоит дать определение этим коэффициентам.
Ковариация — взаимозависимое совместное изменение двух и более признаков экономического процесса. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух ценных бумаг, например акций.

Показатель ковариации определяется по формуле:

(7)

где rxi и ryi – доходности активов X и Y,
rX и rY - ожидаемые (средние) доходности активов X и Y,
n – число наблюдений.

Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер.

Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию, довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. Значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции.

Расчет корреляции осуществляется по формуле:

, (8)

Где – коэффициент корреляции переменных X и Y;

– стандартное отклонение переменной X;

– стандартное отклонение переменной Y.

Если коэффициент корреляции положительный, но меньше чем +1, между доходностями двух бумаг также существует зависимость, но менее строгая. На рис. 1.6 представлен случай положительной корреляции между доходностями бумаг Х и F, но меньшей чем +1. Конкретные значения доходностей бумаг даны на графике отдельными точками и представляют собой некоторое рассеяние. Несмотря на отсутствие строгой зависимости между переменными, наглядно видно, что в целом выполняется закономерность: большему значению X соответствует большее значение Y. Поскольку корреляция меньше чем +1, то в отдельных случаях при росте доходности бумаги X доходность Y может и падать. Таким образом, положительная корреляция означает, что при возрастании одной из переменных другая имеет тенденцию в среднем возрастать.

Рис.2. Положительная корреляция, меньше чем +1

Дата добавления: 2015-08-09