Пересечение кривых поверхностей прямой линией

На рисунке слева показано пересечение прямой линии с некоторой цилиндрической поверхностью. Эта поверхность задана ее следом на пл. nt — кривой MN и направлением образующей — прямой МТ. Через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Р, пересекающая данную цилиндрическую поверхность по кривой, построенной по точкам, в которых образующие поверхности пересекают пл. р. В пересечении полученной кривой с заданной прямой АВ находим точку К, в которой прямая АВ пересекает цилиндрическую поверхность.

Этот прием является общим для построения точек пересечения прямой с любой поверхностью: через прямую следует провести вспомогательную плоскость, найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью; точка пересечения заданной прямой и построенной линии на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью.

Построение, показанное на рисунке слева, конечно, упрощается, если (рисунок справа) вспомогательная пл. у параллельна образующей МТ: поверхность оказывается пересеченной по прямой, параллельной МТ и определяемой по одной точке L. Это один из возможных частных случаев, а именно данная прямая АВ лежит в плоскости, параллельной образующей МТ.

Иногда показ вспомогательной плоскости излишен.

Вспомогательную плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы получились простейшие сечения.

Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и, следовательно, пересекающая эту поверхность по прямым линиям. При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией целесообразно проводить вспомогательную плоскость через данную прямую параллельно образующим этой поверхности; при пересечении так проведенной плоскости с цилиндрической поверхностью получаются прямые линии.

Для построения образующих, по которым пл. а пересекает конус, надо найти еще по одной точке для каждой образующей, кроме точки S. Эти точки могут быть найдены в пересечении следа пл. а, полученного на плоскости основания конуса, с окружностью этого основания. Точки Ку и К2 являются точками входа и выхода при пересечении прямой АВ с поверхностью конуса.

Если дан усеченный конус, а фронтальную проекцию вершины нельзя построить, то можно взять точку N" как фронтальную проекцию точки пересечения данной прямой АМХ с некоторой вспомогательной прямой, проходящей через вершину S; найдя проекцию N', строим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой SM2 (используя точку S').

На рисунке показано построение точек К и М, в которых отрезок АВ пересекает сферу радиуса R. Применен способ перемены плоскостей проекций.

Прежде всего через АВ проведена горизонтально-проецирующая пл. я3 (след на пл. я t совпадает с проекцией А'В'). Она пересекает сферу по окружности, радиус которой Rt равен отрезку С'1'.

АВ (А'А'" = А"2", В'В'" = В"3") и проекцию окружности, по которой плоскость я3 пересекает сферу. Проекцию центра С" находим, откладывая С"С = О"4", и из С'" проводим радиусом Л, дугу так, чтобы получить точки К'" и М'" (проведение радиусом Л] окружности целиком излишне). По этим точкам сначала находим проекции К' и М', а по ним — проекции К" и М".

Еще один пример построения точек пересечения прямой линии с поверхностью, ограничивающей некоторое тело вращения, дан на рис. 391. Помимо двух плоскостей, тело ограничено двумя цилиндрическими поверхностями вращения и переходной между ними частью — поверхностью кругового кольца. В точке К1 прямая пересекает цилиндрическую поверхность и далее пересекает в точке К2 поверхность кругового кольца. Для построения проекций этой точки найдена кривая с проекциями l'2'З', 1"2"3", полученная при пересечении поверхности кольца плоскостью Р, проведенной через прямую АВ перпендикулярно к пл. я,. Кривая построена по точкам при помощи параллелей; на рисунке показаны две, отмеченные точками М и N. Далее, прямая вновь пересекает поверхность кольца в точке К3 и выходит за пределы поверхности через точку

Здесь изображен наклонный цилиндр с круговым основанием. Для построения точек пересечения поверхности цилиндpa прямой линией АВ проводим пл. а, определяемую, помимо прямой АВ, дополнительной прямой ВМЪ проведенной через точку В параллельно образующим цилиндра. Такая плоскость пересекает цилиндр по его образующим. Если найти горизонтальные следы прямых, определяющих плоскость, то может быть проведен горизонтальный след пл. а. Отметив точки Г и 2' в пересечении следа h'0, с основанием цилиндра (оно расположено в пл. яД проводим через эти точки прямые параллельно горизонтальной проекции образующей цилиндра и отмечаем точки К\ и К'2 — горизонтальные проекции точек пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра. Далее находим точки К' и К2.

Такое построение можно также представить как косоугольное проецирование цилиндра и прямой АВ на плоскость проекций п1. Проецирование проводится по направлению, параллельному образующей цилиндра. Точка М прямой АВ расположена в пл. л,; точка М1 является косоугольной проекцией точки В, построенной на пл. л,. Прямая М'М[ является косоугольной проекцией прямой АВ на пл. л,. Цилиндр же проецируется на эту плоскость в свое основание. Дальнейшее ясно из чертежа.

При решении задачи на пересечение поверхности прямой линией может оказаться, что данная прямая не пересекает, но лишь касается кривой, ограничивающей фигуру, получаемую при пересечении данной поверхности плоскостью, проведенной через прямую. В этом случае прямая является касательной к данной поверхности. Вообще, если требуется определить, как прямая расположена относительно поверхности, надо через прямую провести плоскость, пересекающую поверхность, и рассмотреть взаимное положение прямой и фигуры, полученной при пересечении поверхности плоскостью.

Пусть некоторая поверхность должна быть пересечена не прямой линией, а какой-либо плоской кривой.

Такое построение можно также представить как косоугольное проецирование цилиндра и прямой АВ на плоскость проекций п1. Проецирование проводится по направлению, параллельному образующей цилиндра. Точка М прямой АВ расположена в пл. л,; точка М1 является косоугольной проекцией точки В, построенной на пл. л,. Прямая М'М[ является косоугольной проекцией прямой АВ на пл. л,. Цилиндр же проецируется на эту плоскость в свое основание.

Дата добавления: 2015-08-18