Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Классификация замкнутых поверхностей

Читайте также:
  1. II. Классификация медицинских отходов
  2. II. Классификация медицинских отходов
  3. II. Классификация медицинских отходов
  4. II. Классификация медицинских отходов
  5. II. Классификация медицинских отходов
  6. III. Медициналық құралдар мен аппараттардың классификациясы.
  7. А) Классификация генераторов по способу возбуждения.

Мы подходим к формулировке замечательной теоремы о топологической классификации поверхностей, полученной немецким математиком Мебиусом и французским математиком Жорданом.

Условимся рассматривать только замкнутые поверхности (которые не имеют края и допускают разбиение на конечное число многоугольников). Плоскость, например, не является замкнутой поверхностью: конечный граф, начерченный на плоскости, не разбивает ее на области, которые все гомеоморфны кругу.

Задача топологической классификации поверхностей заключается в том, чтобы указать такие попарно не гомеоморфные замкнутые поверхности, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе говоря, нужно перечислить все топологически различные замкнутые поверхности.

Теорема. Обозначим через P0 сферу, а через Pk сферу с k ручками. Тогда поверхности

P0, P1, P2, …, Pk,… (1)

дают полную топологическую классификацию замкнутых ориентируемых поверхностей, т.е. здесь перечислены все различные типы таких поверхностей.

Замкнутую неориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь с самопересечениями. Так как край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности, то можно попытаться приклеить ленту Мебиуса своим краем к краю дыры, вырезанной в некоторой поверхности, например в сфере. Если на одной окружности кольца склеить между собой каждые две диаметрально противоположные точки, то мы получим ленту Мебиуса.

Пусть теперь ℓ- контур круглой дыры на некоторой поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) вокруг дыры ℓ и обозначим через ℓ′ наружный контур этого кольца.

Тогда получится поверхность, гомеоморфная Q (только с несколько большей дырой ℓ′), и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре ℓ отрезанного кольца каждые диаметрально противоположные точки; тогда кольцо превратится в ленту Мебиуса. Эту ленту Мебиуса мы и вклеим в дыру ℓ′. В результате мы вклеим в поверхность Q (точнее, в поверхность, гомеоморфную ей) ленту Мебиуса. Но разрезание поверхности по контуру ℓ′ и обратное склеивание этого разреза можно было и не делать: достаточно было просто склеить на контуре ℓ каждые две диаметрально противоположные точки. Итак, склеивание каждых двух диаметрально противоположных точек на контуре круглой дыры равносильно вклеиванию в эту дыру ленту Мебиуса.

Теперь мы можем сформулировать вторую половину теоремы Мебиуса-Жордана о классификации поверхностей, а именно, дать перечисление всех топологически различных типов замкнутых неориентируемых поверхностей.

Теорема. Обозначим через Nq поверхность, получающуюся из сферы вырезанием в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мебиуса. Тогда поверхности

N1, N2, …, Nq, … (2)

дают полную топологическую классификацию замкнутых неориентируемых поверхностей.

 

Решение нулевого варианта контрольной

Работы

Задание 1. Зафиксируем точку в трехмерном евклидовом пространстве. Открытыми множествами назовем все пространство, пустое множество, а также внешние области шаров с центром в точке и произвольным радиусом , т.е. множество всех точек таких, что . Показать, что данное пространство с указанными открытыми множествами является топологическим пространством.

Решение.

Пусть - семейство всех открытых множеств данного пространства. Покажем, что - топология.

1. По условию само множество и пустое множество принадлежат семейству .

2. Покажем, что объединение любого числа множество семейства также принадлежит , т.е. является открытым множеством.

Пусть рассматриваемое семейство множеств, - радиус шара, определяющего множество . Рассмотрим соответствующее множество . Так как , то множество ограничено снизу, а значит, как известно из курса математического анализа, имеет точную нижнюю грань . Тогда . Так как , то и .

3. Покажем, что пересечение любых двух открытых множеств и также принадлежит семейству .

Пусть множество определяется шаром радиуса , а множество - шаром радиуса . Тогда , где - множество, определяемое шаром радиуса . Так как , то .

Таким образом рассматриваемое пространство с введенными открытыми множествами является топологическим пространством.

Задание 2. Для множества топологического пространства с топологией , индуцированной обычной метрикой, т.е. , найти , , , и множество всех изолированных точек, если .

Решение.

Изобразим данное множество на числовой оси.

 
 

Рис. 1.

Покажем, что .

Пусть и , тогда имеем: , т. е. любая точка интервала является внутренней. Для каждой из точек не существует окрестности, входящей в .

Рассмотрим множество . Из курса математического анализа известно, что любой числовой промежуток содержит бесконечно много как рациональных, так и иррациональных точек. Поэтому любая окрестность точки этого множества будет содержать иррациональные точки, т. е. точки, принадлежащие и, следовательно, внутренних точек в этом множестве нет.

Итак, .

2. .

. По аналогии с первым пунктом можно убедиться, что .

Итак, .

3. Известно, что .

Следовательно .

4. Так как замыкание , то получаем: .

5. Покажем, что точки являются изолированными. Для этого рассмотрим окрестности и .

,

.

А это означает, что точки являются изолированными.

Ответ: ,

,

,

,

– множество изолированных точек.

Задание 3. Доказать, что множество точек Х плоскости p, имеющих только одну рациональную координату, несвязно.

 

Решение.

 

Рис. 2.

Рассмотрим прямую , все точки, которой не принадлежат множеству Х. Действительно, ее точки имеют либо две рациональные координаты, либо две иррациональные. Рассмотрим две открытые полуплоскости p1 и p2 с границей .

Пусть и . (1)

Покажем, что множества и являются открытыми в подпространстве с топологией , где - открытое множество топологического пространства .

Пусть точка . Рассмотрим число и окрестность этой точки , где . Очевидно, что

(2).

Рассмотрим окрестность этой точки

(3)

в подпространстве . В силу утверждений (1), (2) и (3) заключаем, что , а это означает, что точка является внутренней точкой множества , откуда следует, что (4).

Используя критерий открытого множества и равенство (4), можно утверждать, что - открытое множество подпространства .

Нетрудно убедиться, что множество также является открытым в подпространстве . При этом и Æ, откуда по

определению несвязного подпространства следует, что - несвязное множество.

Задание 4. Показать, что бесконечное множество точек числовой оси с координатами не является компактным.

Решение.

Рассмотрим данное множество как числовую последовательность

и рассмотрим его бесконечное открытое покрытие

, где .

 

При этом

.

Таким образом, если из данного покрытия удалить хотя бы одну окрестность , то среди оставшихся окрестностей не найдется ни одной, содержащей точку .

Следовательно, по определению данное множество не является компактным.

Задание 5. Найти эйлерову характеристику двумерного многообразия , построив конкретное клеточное разбиение, и эйлерову характеристику двумерного многообразия , пользуясь теоремой о «склеивании» двумерных многообразий, если - сфера, - сфера с двумя «дырками», заклеенными двумя «ручками».

Решение.

Изобразим сферу и предложим ее следующее клеточное разбиение

Тогда , , , где - число вершин, - число сторон, - число клеток.

Эйлерова характеристика вычисляется по формуле: . В нашем случае .

Так как двумерное многообразие получено «склеиванием» сферы с двумя «дырами» и двух «ручек» и , то по теореме о «склеивании» двумерных многообразий имеем:

 

. (1)

 

Эйлерова характеристика сферы с «дырами» вычисляется по формуле . В нашем случае , поэтому

. (2)

Как известно, эйлерова характеристика «ручки» равна - 1, поэтому

 

. (3)

Тогда в силу равенств (1), (2), (3) имеем:

 

.

 

ТЕСТ по курсу «геометрия-топология»


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 328 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: БАЗИС. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ | Аксиома Хаусдорфа | КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ | Связность топологических пространств | Непрерывные отображения | Примеры непрерывных отображений | Топологические отображения | Примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов | ПОНЯТИЕ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ | ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕРХНОСТИ |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ И НЕОРИЕНТИРУМЫЕ| семестр, отд. МоАИС

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.016 сек.)