Эйлерова характеристика поверхности

Рассмотрим известные в евклидовой геометрии правильные многогранники. В следующей таблице указано название, число вершин, ребер и граней этих пяти правильных многогранников.

Название многогранников	Число вершин	Число ребер	Число граней
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Из рассмотрения этой таблицы видно, что для каждого правильного многогранника имеет место соотношение:

, (1)

где В - число вершин многогранника, Г - число граней, Р - число ребер. Соотношение (1) легко проверить также для пирамид, призм и других многогранников. Эйлер впервые подметил и доказал это замечательное свойство многогранников.

Уточним формулировку теоремы Эйлера. Прежде всего заметим, что любая грань каждого из рассмотренных многогранников гомеоморфна кругу. Далее, поверхность каждого из рассмотренных многогранников (или, вообще, любого выпуклого многогранника) гомеоморфна сфере: если О - произвольная внутренняя точка многогранника, а S - сфера с центром О, содержащая внутри себя этом многогранник, то проекция поверхности на сферу S из центра О представляет собой искомый гомеоморфизм.

Теорема Эйлера. Для всякого многогранника, поверхность которого гомеоморфна сфере, а каждая грань гомеоморфна кругу справедливо соотношение (1).

Можно придать этой теореме чисто топологическую формулировку. Для этого заметим, что все вершины и ребра многогранника образуют связный граф, который разбивает поверхность многогранника на отдельные грани (т.е. куски, гомеоморфные кругу). Мы получаем следующее (более общее, чем теорема Эйлера) утверждение:

Пусть на сфере (или гомеоморфной ей поверхности) начерчен связанный граф G, имеющий В вершин и Р ребер и разбивающий сферу на Г областей (граней), тогда справедливо соотношение:

. (2)

В дальнейшем простой дугой будем называть гомеоморфный образ отрезка, а простой замкнутой кривой или циклом – гомеоморфный образ окружности.

Определение 1. Пусть Q – компактная поверхность с краем. Сетью å на Q назовем любой набор конечного числа точек А₁, А₂, …, А_m и конечного числа простых дуг g₁, g₂,×××,g_n, которые имеют концы в точках А₁, А₂, …, А_m и не пересекаются друг с другом во внутренних точках.

Точки А₁, А₂, …, А_m называются вершинами сети, дуги g₁, g₂,×××,g_n – ребрами сети. Областями сети назовем компоненты множества

Q \ ((

Определение 2. Если каждая область сети å гомеоморфна открытому кругу, то говорят, что сеть å задает клеточное разбиение поверхности с краем Q. В этом случае вершины сети называем вершинами клеточного разбиения, ребра сети – ребрами клеточного разбиения, а области сети – областями клеточного разбиения.

Пусть Q - поверхность (с краем или без края, двусторонняя или односторонняя), которая допускает разбиение на многоугольники. Это означает, что на поверхности можно задать клеточное разбиение, разбивающее ее на конечное число областей, гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и ребер сети через В и Р, а число многоугольников, на которые Q разбивается этой сетью - через Г. Число

c(Q) = В - Р + Г (3)

называется эйлеровой характеристикой поверхности Q.

Строго говоря, число (2) определяется не самой поверхностью Q, а выбором ее разбиения на многоугольники. Однако теорема Эйлера показывает, что для поверхности Q, гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения на многоугольники:

c(Q) = 2.

Теорема 1. Для любой поверхности Q ее эйлерова характеристика c(Q) не зависит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью, т.е. является ее топологическим инвариантом.

Доказательство. В самом деле, пусть на поверхности Q «нарисованы» две сети G₁, G₂, каждая из которых задает разбиение на многоугольники. Числа вершин, ребер и граней разбиения, определяемого сетью G₁, обозначим через В₁, Р₁, Г₁, а соответствующие числа для разбиения, определяемого сетью G₂ - через В₂, Р₂, Г₂. Вообще говоря, сети G₁ и G₂ должны пересекаться в конечном числе точек.

Далее, можно считать, что сеть G₁ È G₂ будет связной. Итак, мы можем предполагать, что сети G₁ и G₂ пересекаются в конечном числе точек и имеют связное объединение G₁ È G₂. Считая новыми вершинами все точки пересечения сетей G₁ и G₂, а также все вершины этих сетей, мы найдем, что G₁ È G₂ является конечной связной сетью(ее ребрами являются куски ребер сетей G₁ и G₂, на которые они разбиваются вершинами сети G₁ È G₂).

Обозначим через В и Р число вершин и ребер сети G₁ È G₂, а через Г - число граней, на которые она разбивает поверхность Q.

Идея состоит в доказательстве равенств

(4)

что даст следующее равенство

В₁- Р₁+ Г₁= В₂- Р₂+ Г₂.

Оба равенства (4) доказываются одинаково; докажем первое.

Пусть M - некоторый многоугольник («грань»), определяемая сетью G₁. Обозначим число вершин и ребер сети G₁ È G₂, расположенных внутри M (не на контуре), через В' и Р', а число вершин (а значит, и ребер) этой сети, расположенных на контуре многоугольника M, через q. Далее, число граней, определяемых сетью G₁ È G₂ и содержащихся в M, обозначим через Г '.

На рис. имеем В' = 4, Р' = 12, Г ' = 9, q = 15.

М

Вырежем теперь многоугольник M, вместе с имеющейся на нем частью сети G₁ È G₂, из поверхности Q. Так как M гомеоморфен кругу и, значит, полусфере, то его можно второй полусферой дополнить до поверхности, гомеоморфной сфере. На этой сфере расположена связная сеть, имеющая В'+ q вершин, Р'+ q ребер и определяющая Г '+1 граней (Г ' граней содержится в M и еще одной гранью является нижняя полусфера).

Следовательно, согласно (1)

(В'+ q) - (Р'+ q) + (Г '+1)=2,

т.е.

В'- Р'+ Г '= 1. (5)

Если теперь (возвращаясь к поверхности Q, на которой начерчена сеть G₁ È G₂ ) мы выбросим из сети G₁ È G₂ ее часть, расположенную внутриM, то получится новая сеть, для которой число В - Р + Г остается таким же, как и для сети G₁ È G₂.

В самом деле, вместо В' вершин, Р' граней и Г' граней, имевшихся внутри M, мы теперь будем иметь 0 вершин, 0 ребер и одну грань (сам многоугольник M), т.е. число В' – Р' + Г' заменится на 0 - 0 + 1, а это, согласно (5), ничего не меняет.

Теперь ясно, что если мы из сети G₁ È G₂ выбросим ее части, расположенные внутри всех многоугольников, определяемых сетью G₁, то получится новая сеть G*, для которой число В'– Р'+ Г' будет таким же, как и для сети G₁ È G₂. Иначе говоря,

В* - Р* + Г* = В - Р + Г, (6)

где В* и Р* - число вершин и ребер сети G*, а Г* - число определяемых ею граней.

Заметим, наконец, что сеть G* получается из G₁ добавлением нескольких новых вершин на ребрах. Добавление каждой новой вершины увеличивает число ребер на 1 (поскольку добавленная вершина разбивает одно из ребер на два). Следовательно, если переход от сети G₁ к G* осуществляется добавлением k новых вершин, то

В* = В₁ + k,

Р* = Р₁ + k.

Кроме того,

Г* = Г₁,

так как сеть G* определяет те же грани, что и сеть G₁.

Таким образом,

В* - Р* + Г* = (В₁ + k) - (Р₁ + k) + (Г₁ + k) = В' - Р' + Г'

а это, согласно (5), и дает первое из соотношений (4).

Итак, эйлерова характеристика поверхности не зависит от ее разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью.

Теорема 2. Эйлерова характеристика поверхности является ее топологическим инвариантом, т.е., если поверхности Q₁ и Q₂ гомеоморфны, то c (Q₁) = c (Q₂).

Доказательство. В самом деле, при гомеоморфизме

f: Q₁®Q₂

сеть G₁, заданная на поверхности Q₁, переходит в сеть G₂ = f(G₁) на поверхности Q₂, причем число вершин, ребер и граней на поверхности Q₂ будет столько же, сколько и на поверхности Q₁.

Определение 3. Будем говорить, что двумерное многообразие Ẽ получено из Е и Е’ склеиванием по совокупности гомеоморфизмов

f_i: g_I ® g_I¢, i=1,2,…,k, если мы имеем склеивание по каждому гомеоморфизму f_i: g_I ® g_I¢ отдельно и при этом компоненты края все попарно различны.

Теорема 3. Если двумерное многообразие Ẽ получено из Е и Е¢ склеиванием по совокупности гомеоморфизмов f_i: g_I ® g_I¢, i=1,2,…,k, то эйлерова характеристика многообразия Ẽ равна сумме эйлеровых характеристик многообразий Е и Е¢.

Доказательство. Пусть Е ¹ Е¢, К и К¢ их клеточные разбиения. Очевидно, всегда можно выбрать клеточные разбиения и К¢ такими, что гомеоморфизм f_i: g_I ®g_I¢ отображает вершину из К на вершину из К¢ и, наоборот. Обозначим a₀, a₁, a₂, (a₀¢, a₁¢, a₂¢) – число вершин, сторон и клеток в К (К¢), р₀ (р₀¢) – число вершин расположенных на отождествляемых компонентах края. При этом р₀ = р₀¢. Объединяя все клетки К и К¢ мы получим новое клеточное разбиение для многообразия Ẽ. При этом имеет: вершин = a₀ + a₀¢– р₀, сторон = a₁+ a₁¢– р₀ , клеток = a₂ + a₂¢.

Следовательно,

c (Ẽ) = – + =(a₀ + a₀¢– р₀) – (a₁+ a₁¢– р₀) + (a₂ + a₂¢) = c (Е) + c (Е’).

Теорема доказана.

Определение 4. Многогранник нулевого рода называется топологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а к каждой вершине подходит одно и то же число ребер.

Найдем все топологически правильные многогранники. Пусть Р один из них, n – число вершин каждой из его грани, m – число ребер, подходящих к каждой вершине. Так как каждое ребро является общей стороной двух его граней, то

n×a₂ = 2 a_1. (7)

Так как каждое ребро подходит к двум вершинам, то

m×a₀ = 2 a_1. (8)

Из (1) и (2) получим:

a₂ = , a₀ = .

Подставляя эти равенства в формулу Эйлера, получим

– a₁ + = 2.

Преобразовав это равенство, получим

+ = + 1,

что приводит нас к неравенству

+ > 1. (9)

Так как n ³ 3, m ³ 3, то

> 1 – ³ 1 – = ,

что дает нам интервал значений для m

3 £ m < 6.

Аналогично получаем интервал значений для n

3 £ n < 6.

Рассматривая всевозможные комбинации значений n и m и, учитывая равенства (7), (8) и (9), получим все топологически правильные многогранники. Набор таких многогранников соответствует, по названию, набору правильных многогранников евклидова пространства, который был задан в начале § 2 этой главы.

Дата добавления: 2015-08-13