Реологические параметры, модули деформации и их определение

Рассмотренные выше реологические уравнения состояния идеальных тел связывают между собой напряжения и деформации с помощью реологических параметров, модулей деформации. В нашем случае ими явились модуль сдвига G, коэффициент объемного сжатия K, коэффициент динамической вязкости h, предел текучести t_т. Первые два параметра позволяют определить еще два модуля деформации, которые играют большую роль в механике деформирования твердых тел. Этими модулями являются модуль Юнга E и коэффициент поперечной деформации n.

Из приведенных четырех коэффициентов (E, n,G, K) только два являются независимыми (чаще всего экспериментально определяют первые два коэффициента). Это означает, что по любым двум известным коэффициентам всегда можно найти неизвестные:

E = 2G(1 + n);

n = (3K – 2G) / (6K + 2G);

K = E / 3[(1 – n)];

G = E / 2(1 + n).

Постоянные E, G, K имеют размерность напряжений (Па), а величина n является безразмерной.

3.4.1. Модуль Юнга – модуль продольной упругости. Модуль Юнга является коэффициентом пропорциональности между нормальным напряжением s, действующим в образце, и упругой относительной деформацией ε, возникающей в нем вдоль линии действия механического усилия. Конкретный вид выражения, с помощью которого определяется модуль Юнга, зависит от вида напряженного состояния, в котором находится образец.

Основной формулой для нахождения модуля Юнга является реологическое уравнение состояния t_i = G. g_i.

Так как при одноосном сжатии образца справедливы равенства (табл.2, 3)

t_i = s₁ / 3^0.5, g_i = 2(1 + n)e₁ / 3^0.5,

то физическое уравнение, связывающее нормальное напряжение s₁ и относительную линейную деформацию образца e₁ вдоль направления действия силы при этом напряженном состоянии, имеет вид

s₁ = 2G(1 + n)e₁, (10)

где 2G(1 + n) = E – модуль продольной упругости (модуль Юнга). Из уравнения s₁ = E e₁ следует равенство E = s₁ / e₁, которое определяет экспериментальный способ нахождения величины модуля Юнга.

В условиях компрессионного испытания образца (когда развитие поперечной деформации блокировано: образец керна, например, находится в толстостенном металлическом цилиндре, сдерживающем развитие поперечной деформации), интенсивность касательных напряжений и деформаций имеет вид

t_i = 3^–0,.5(1 – 2n)s₁ / (1 – n), g_i = 2e₁/3^0,5.

Закон Гука для такого испытания будет иметь вид:

s = 2G(1 – n)^.e / (1 – 2n),

где коэффициент 2G(1 – n ) / (1 – 2 n ) = E _о и является модулем Юнга материала, находящегося в данном напряженном состоянии. Используя полученное выше значение (10) модуля Юнга для случая одноосного сжатия, последнее выражение можно переписать в виде

E_о= E(1 – n) / [(1 + n)(1 – 2n)],

где E – найденный ранее модуль Юнга в эксперименте без компрессии, E _о – модуль Юнга в эксперименте с компрессией.

Традиционное определение величины модуля Юнга происходит в экспериментах одноосного сжатия при медленном механическом нагружении образца горной породы в пределах упругости. Для экспериментального определения модуля Юнга используются образцы горных пород, приготовленные либо из керна, либо образцы кубической формы. К противоположным параллельным поверхностям образца прикладывается механическая нагрузка (сила сжатия F). Уравнение E = s₁ / e₁ можно записать в виде

E = F/S: Dl/l = F·l / (S·Dl),

где s = F/ S, S – площадь поперечного сечения образца горной породы, e = D l / l – относительная деформация образца породы,

D l – абсолютная деформация образца.

Таким образом, для определения величины модуля Юнга необходимо измерить площадь поперечного сечения образца, абсолютную деформацию образца в направлении действия силы, величину силы F, вызвавшую эту деформацию.

Величина модуля Юнга основных породообразующих минералов составляет (10 ⁵ ÷ 10 ⁴) МПа. Например, модуль Юнга таких минералов, как кварц, кальцит, оливин, ортоклаз, доломит составляет 9,4·10⁴ МПа, 8,2·10⁴ МПа, 2,1·10⁵ МПа, 6,2·10⁴ МПа, 8,0·10⁴ МПа, соответственно.

Модуль Юнга горных пород на порядок и более уступает приведенным значениям модуля Юнга породообразующих минералов. Резкое отличие модуля Юнга горных пород от модуля Юнга минералов объясняется наличием слабых адгезионных границ между минералами, наличием пор в горной породе.

Модуль Юнга, определяемый при сжатии образцов горных пород, в 1,5 ÷ 4 раза превосходит модуль упругости, определяемый при растяжении этих же образцов.

Модуль продольной упругости E и модуль поперечной упругости G соответствуют основным видам напряжений и деформаций и поэтому считаются основными характеристиками упругости горных пород.

3.4.2. Коэффициент поперечной деформации. Помимо продольной деформации, измеряемой вдоль направления действия силы, в образце возникает и поперечная деформация, измеряемая в направлении, перпендикулярном действию силы. Модуль отношения величины относительной поперечной деформации e_поп к величине относительной продольной деформации e_пр называется коэффициентом поперечной деформации n. Знак модуля применяем по следующей причине: продольная и поперечная деформации имеют различные знаки: e_пр – деформация сжатия и ей соответствует знак плюс, e_поп – деформация растяжения, ей соответствует знак минус):

│e_поп / e_пр│ = n.

Выражая величину поперечной и продольной деформации образца горной породы, приготовленного из керна диаметром d и высотой l, получим выражение для определения коэффициента поперечной деформации при одноосном сжатии образца:

n = │Dd·l / d·Dl│, (11)

где D d, D l – абсолютная деформация диаметра и высоты образца.

В области упругого поведения горных пород коэффициент поперечной деформации называется коэффициентом Пуассона и является постоянной величиной. Для различных материалов величина коэффициента Пуассона изменяется в узких пределах 0 < n £ 0,5. Среднее его значение для горных пород и минералов меняется в диапазоне 0,2 – 0,4.

При отсутствии поперечной деформации, т.е. при выполнении условия e_поп = 0, справедливо равенство n = 0. В этом случае деформация образца происходит только вдоль линии действия сжимающей образец силы. Но при отсутствии поперечной деформации происходит только изменение объёма образца без изменения его формы и справедливы соотношения

E = 2G, K = 2G/3.

Так как для пластически деформируемых материалов выполняется реологическое уравнение e_v = 0 (материал несжимаем: K ® ¥ и происходит изменение формы образца без изменения его объёма), то для образцов, изготовленных из такого материала, будут справедливы равенства n = 0.5 ( этот вывод следует из уравнения K = E / 3[(1 – n )]) и G = E / 3).

Коэффициент поперечной деформации n в силу своей незначительной величины весьма мало влияет на количественное изменение напряженно-деформированного состояния массивов различных горных пород, находящихся в сходных условиях. Если же коэффициент поперечной деформации рассматривать не только как упругую постоянную, а как параметр, который может быть переменным в зависимости от величины деформаций, то рост коэффициента поперечной деформации может информировать о развитии разрушения горной породы.

3.4.3. Коэффициент объемного деформирования. В случае сложного напряженного состояния, которое характеризуется интенсивностью касательного напряжения τ_i, интенсивностью деформации сдвига g_i, средним нормальным напряжением s_ср и средним относительным удлинением (сжатием) e_ср, в пределах упругой деформации наблюдается линейная связь между величиной среднего нормального напряжения и средним относительным удлинением (сжатием): s_ср = K e_ср или P = K e_v /3, где K- коэффициент объемного деформирования (модуль объёмного сжатия), P = (s₁ + s₂ + s₃) / 3 – всестороннее давление.

Величина b_T = K^–1 называется изотермической сжимаемостью. Сжимаемость (объёмная упругость) представляет собой относительное уменьшение объёма V (жидкости, образца горной породы, минерала) при росте давления P на 1 МПа:

b_T = – V_o^-1· ( d V/ d P ) _T= r^-1·(d r/ d P)_T,

где V _o – начальный объём, r – плотность. Иначе говоря, сжимаемость - это способность вещества изменять свой объём под действием всестороннего давления. Тело называется несжимаемым, если величина его плотности не зависит от давления d r / d P = 0. Знак «минус» вводится в формуле, определяющей величину b_T, для того, чтобы сделать величину b_T положительной, т.к. производная ( d V/ d P ) _T в формуле всегда отрицательна.

Той или иной величиной сжимаемости обладают все вещества. Сжимаемость минералов чрезвычайно мала и незначительно изменяется при росте напряжений. Алмаз, например, при росте давления вообще не изменяет величину сжимаемости. Величина коэффициента сжимаемости некоторых жидкостей и минералов приведена в таблице 4.

Таблица 4

Величина коэффициента сжимаемости минералов,
горных пород и жидкостей

Минерал, порода	βТ·10^5, МПа^-1, Р = 196 МПа	Жидкость	βТ·10^5, МПа^-1
Алмаз	0,18	Вода	22,1
Кварц	2,86	Бензол	49,1
Галит	4,09	ССl4	91,6
Гранит	2,16	Спирт этил.	112,0

Данные табл. 4 показывают, что сжимаемость жидкостей значительно превосходит сжимаемость минералов и горной породы. Коэффициент сжимаемости горных пород практически всегда больше коэффициента сжимаемости минералов, входящих в состав породы. Объясняется это большой величиной адгезионной поверхности в горной породе, и как следствие, менее плотным ее сложением.

Процесс сжатия сопровождается ростом температуры и выделением тепла. Рост температуры также вызывает изменение объёма. Подобное изменение объема характеризует адиабатическая сжимаемость b_S. Адиабатическая сжимаемость b_S меньше изотермической b_T. Модуль адиабатического объемного сжатия K _S определяется уравнением

K _S = r· ( d P / d V) _T.

Отличие между величинами K _S и K составляет несколько процентов. Величина модуля сдвига G горных пород всегда меньше величины модуля Юнга. Величина коэффициента K может быть как больше модуля Юнга, так и меньше его.

Дата добавления: 2015-08-13