Геометрическая интерпретация напряженного состояния

Прежде всего дадим геометрическую интерпретацию напряженного состояния изотропного тела, отобразив это состояние в трехмерном пространстве главных нормальных напряжений s₁, s₂, s₃ (рис. 4).

Начало координат соответствует отсутствию напряжений в теле. На осях координат лежат точки, отображающие простое растяжение или сжатие вдоль этих осей. На координатных плоскостях s₁s₂, s₂s₃, s₁s₃ расположены точки, отображающие плоское напряженное состояние.

Прямая, наклоненная под одинаковыми углами a (cos a = 3^-0,5) ко всем трем координатным осям, называется пространственной диагональю или гидростатической осью. Она определяет положение точек, соответствующих гидростатическому состоянию:

s₁ = s₂ = s₃ = P.

Единичный вектор h, направленный вдоль гидростатической оси, определяется выражением

h = (i + j + k),

где i, j, k – единичные вектора по направлению осей s₁, s₂, s₃ (рис. 4). Плоскость, проходящая через начало координат (т. О) и перпендикулярная вектору h, называется девиаторной плоскостью.

Так как направление нормали к девиаторной плоскости задается проекциями вектора h на оси координат, то из общего уравнения плоскости, проходящей через рассматриваемую точку с координатами (s₁^*, s₂^*, s₃^*),

A(s₁ – s₁^*) + B(s₂ – s₂^*) + C(s₃ – s₃^*) = 0,

где A = i, B = j, C = k, следует, что уравнение такой плоскости имеет вид

s₁ + s₂ + s₃ = 0.

Любая точка M трехмерного пространства s₁, s₂, s₃, имеющая координаты s₁^*, s₂^*, s₃^*, изображает некоторое напряженное состояние, характеризуемое главными напряжениями s₁, s₂, s₃ (Рис. 4).

Дадим геометрическую интерпретацию величинам s_ср и t_i. В качестве образа напряженного состояния мы будем рассматривать не точку М, а вектор ОМ, соединяющий начало координат О с точкой М (s₁, s₂, s₃):

ОМ = s₁^*i + s₂^* j + s₃^* k.

Если мы разложим вектор OM, характеризующий напряженное состояние, на составляющие MN и ON, параллельную и перпендикулярную гидростатической оси, соответственно, то составляющая MN определится выражением MN = (OM ^ h)h, где

OM·h = (s₁^*i + s₂^*j + s₃^*k)· (i + j + k) =

= (s₁^* + s₂^* + s₃^*)/ = s_ср× .

Следовательно

MN = s_ср× h = s_ср(i + j + k),

т.е. проекция вектора напряжений OM на гидростатическую ось пропорциональна величине среднего напряжения s_ср.

Учитывая выражения для векторов MN и OM, можно записать

ON = OM – MN = (s₁^*i + s₂^*j + s₃^*k) – s_ср(i + j + k) =

= (s₁ – s_ср)i + (s₂ – s_ср)j + (s₃ – s_ср) k.

В последнем выражении величины, находящиеся в круглых скобках, представляют собой главные нормальные девиаторные напряжения

s₁ = (s₁ – s_ср), s₂ = (s₂ – s_ср), s₃ = (s₃ – s_ср).

Так как вектор ON по определению перпендикулярен гидростатической оси, то он должен лежать в девиаторной плоскости. Иначе говоря, проекции вектора напряжений OM ( s₁^*, s₂^*, s₃^* ) на девиаторную плоскость равна «вектору девиаторных напряжений » s ₁, s ₂, s ₃. Иначе это можно выразить и так: точка N – проекция точки M на девиаторную плоскость – изображает девиаторные напряжения, отвечающие точ-ке M. Любой вектор, принадлежащий девиаторной плоскости, характеризует девиатор напряжений какого-либо напряженного состояния M (s₁^*, s₂^*, s₃^*).

Радиальное расстояние между любой точкой, находящейся на гидростатической оси, и точкой M, расположенной на плоскости, параллельной девиаторной плоскости (в частности, расстояние между точкой O (начало координат) и точкой N, расположенной на девиаторной плоскости, проходящей через начало координат), найдем по известной (раздел курса математики «Аналитическая геометрия в пространстве») формуле

ON = ·[(s₁^* – s₂^*)² + (s₂^* – s₃^*)² + (s₁^* – s₃^*)²] / 6 ]^0.5 = 2^0.5·t_i.

Иначе говоря, радиальное расстояние от гидростатической оси линейно зависит от интенсивности касательных напряжений t_i.

Появление вектора ON связано с неравнокомпонентностью напряженного состояния. Совершенно очевидно, что когда рассматриваемая точка M находится на гидростатической оси, то вектор главных девиаторных напряжений ON отсутствует в силу того, что s ₁ = 0, s ₂ = 0, s ₃ = 0.

Так как увеличение радиального расстояния ON означает увеличение интенсивности касательных напряжений t_i, то для каждой точки M вектор ON определяет величину девиаторного напряжения, которое вызывает появление сдвигов, т.е. вектор ON определяет условие текучести для данного напряженного состояния.

Так как точка N является проекцией на девиаторную плоскость и любой другой точки, лежащей на прямой MN, то вектор главных нормальных девиаторных напряжений ON = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k является общим для всех точек любой прямой, перпендикулярной девиаторной плоскости. По этой причине если условие текучести выполняется для точки N, то оно будет выполняться и для всех точек бесконечной прямой NM. Все комбинации s ₁, s ₂, s ₃, для которых выполняется данное условие текучести, образуют на девиаторной плоскости кривую текучести. Кривая текучести в девиаторной плоскости является направляющей цилиндра, образующие которого параллельны гидростатической оси. В пространстве главных нормальных напряжений возникает цилиндр текучести.

Дата добавления: 2015-08-13