Решение. значения функции берут из таблицы значений функции Лапласа (см

,

значения функции берут из таблицы значений функции Лапласа (см. приложение №1)

	1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8	-1,488 -0,79 -0,09 0,604 1,302 2,69	0,1315 0,292 0,3973 0,3332 0,1714 0,054 0,0107	9,205 20,44 27,811 23,324 11,998 3,78 0,749

Сравним эмпирические и теоретические частоты.

Рассчитаем .

		9,205 20,44 27,811 23,324 11,998 3,78 0,749	-4,205 -7,44 -1,811 0,676 7,002 6,22 2,251	17,68 55,35 3,279 0,457 49,02 38,69 5,067	1,9206 2,707 0,117 0,019 4,086 10,24 6,765

По таблице критических точек распределения , уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области . Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергают.

Таблица № 5

Статистики для задач проверки гипотез.

гипотеза

Статистика

границы

критерий

Гипотеза о значении генеральной средней нормальной совокупности: а) при известной генеральной дисперсии:

при - правосторонняя критическая область при - левосторонняя критическая область при -двусторонняя критическая область (нормированный закон распределения)

границы находят из условий    

Ф(t_кр)=1-2α

Ф(t_кр)=1-α

если │t_набл│> t_кр то гипотеза отвергается   если │t_набл│≤ t_кр гипотеза не противоречит опытным данным

б) при неизвестной генеральной дисперсии:

при - правосторонняя при - левосторонняя при - двусторонняя критическая область (распределение Стьюдента)

определяются по таблице t - распределения (уровень значимости = α; число степеней свободы n - 1 при односторонней области = 2α при двухсторонней =

    │t│> t_кр  

Гипотеза о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей: а) при известных генеральных дисперсиях:

(распределение Стьюдента)

  границы находятся по таблице Ф(t)  

б) при неизвестных генеральных дисперсиях:

(распр.Стьюдента)

(степень свободы)  

Если │t_набл│> t_кр то гипотеза отвергается, При │t_набл│≤ t_кр гипотеза не противоречит опытным данным

Гипотеза о значении дисперсии генеральной совокупности (значения признака распределены по нормальному закону)

распределение xu-квадрат с (n-1) степенями свободы

если , то нулевая гипотеза H₀: отвергается

Гипотеза о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей

, где и исправленные дисперсии (распределение Фишера-Снедекора (F - распределение))

границы ( определяют по таблице F

если , то гипотеза не противоречит опытным данным; если , то гипотезу отвергают.

На практике часто встречаются ситуации, когда среднее значение данных одного эксперимента отличается от среднего значения данных другого, хотя условия эксперимента являются схожими. Возникает вопрос: можно ли считать это расхождение случайным, незначимым или оно вызвано существенным различием двух генеральных совокупностей.

Пример. С целью постановки диагноза болезни врачом было произведено 12измерений содержания сахара в крови у пациента. При этом среднее значение содержания сахара , стандартное отклонение . Затем через день было произведено 8 измерений и на этот раз ; а отклонение равно . Можно ли сделать вывод при 5% уровне значимости, что сахар в крови пациента был увеличен?

Решение. (Это задача проверки гипотезы о равенстве средних значений двух нормальных совокупностей при известных генеральных дисперсиях).

В качестве критерия справедливости статистической гипотезы используется статистика . Подставим данные задачи в формулу . Используя таблицу приложения 2 при , находим

;

.

Так как число не попадает в критическую область (конкретно в интервал ), то гипотеза принимается.

Пример. При определении некоторой величины при двух различных условиях получены следующие значения выборочных дисперсий с 2-мя степенями свободы (3 измерения) и с 12 степенями свободы (13 измерений). Требуется оценить гипотезу о равенстве соответствующих генеральных дисперсий и с уровнем значимости .

Решение. (Эта задача проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий).

В качестве критерия справедливости статистической гипотезы используется функция , которая имеет распределение Фишера. Подставим данные задачи в формулу . Используя таблицу приложения 7 при и заданных степеней свободы и , находим . Так как число не попадает в критическую область (конкретно в интервал , то гипотеза принимается.

Пример. По результатам тестирования 9 студентов установлено, что среднее время тестирования . Предполагая, что время тестирования подчиняется нормальному распределению с дисперсией на уровне значимости , найти:

а) можно ли принять 50с в качестве нормативного времени (математического ожидания) выполнения теста?

б) можно ли принять за норматив 49с?

Решение. (Эта задача относится к проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии)

а) по условию задачи нулевая гипотеза с. Так как , то в качестве альтернативной примем гипотезу , т.е. имеем случай 2 при . По изложенной схеме получаем . Подставив исходные данные , получаем . Так как число –2 попадает в критическую область , то гипотеза с отвергается и принимается ;

б) здесь нулевая гипотеза с, альтернативная . Снова имеет место случай 2 при . Так как не попадает в критическую область, то гипотеза с не отвергается и в качестве норматива времени тестирования нужно взять 49 с.

Дата добавления: 2015-08-05