Метод Крамерса-Кронига

Этот метод применим для поглощающих пленок, для которых ком­плексный показатель преломления полностью описывает оптические

свойства среды при заданной толщине пленки d:

= n - i × x

Метод позволяет определить n и x в широкой спектральной области на основе измерения одного из спектров – спектра отражения R(ν) или спектра пропускания T(ν), что выгодно отличает его от других методов, требующих большего числа измеряемых величин.

Комплексный коэффициент отражения на частоте ν может быть представлен в виде:

(ν)=[R(ν)] e , (2)

где R(ν) – измеряемое значение коэффициента отражения (по мощности) на частоте ν;

Ф(ν) – фаза комплексного коэффициента отражения. Фаза Ф и амплитуда R комплексного коэффициента отражения связаны между собой соотношением Крамерса-Кронига:

(3)

Оптические постоянные n и χ рассчитываются из формулы Фре­неля, которая, например для S -поляризации света имеет вид:

(4)

где q - угол падения света.

Таким образом, измерив спектр отражения R(ν) в диапазоне частот от ν₁ до ν₂ и экстраполируя функцию R(ν) за пределы диапазона измерений от ν₁ до 0 и от ν₂ до ∞, в соответствии с формулой (3) рассчитывают значения фазы Ф(ν) во всем спектральном диапазоне. Найденный таким образом комплексный коэффициент отражения на частях исследуемого диапазона (см (2)) используется для рас­чета n(n) и x (n) из выражения (4).

Погрешность в расчете n и x обусловлены экспериментальными погрешностями ΔR и Δθ при измерении коэффициента отражения и угла падения, а также погрешностью расчёта фазы Δφ сточником которой являются:

а) ограниченность интервала измерений n₁÷n₂ cвязанная с этим экстраполяция R(ν) за пределы области измерений;

б) наличие особой точки (ν = ν ₀) подынтегральной функции в выражении (3).

В настоящее время имеется ряд различных способов экстраполя­ции R(ν), а также способы устранения необходимости экстраполяции за счет коррекции полученного при интегрировании в пределах от n₁ до n₂ решения. Например, функция n(ν) представляется в виде:

, (5)

где a, b, c, f – константы, которые определяются из условия миминизации величины δR, d - толщина пленки.

Погрешности значений n и x при этом снижается до 5% при погрешности

Измерений R ~1%.

3. Для поглощающей плёнки на прозрачной подложке разработан метод расчета оптических постоянных n(n) и x (ν) на основе экспериментальных спектров отражения R(ν) и пропускания T(ν). При учете многократного отражения света в плоскопараллельном слое пленки интерференции коэффициенты R и T на заданной частоте n вы­ражаются:

(6)

где A, A', B, B', C, C', D, D' являются функциями n₀, n_s, n, x;

n₀,n_s – показатели преломления воздуха и материала подложки,

Метод расчета реализуется следующие образом. Задавая произволь­нее значения n и x, рассчитывают в соответствии с формулами (6) значения Т и R, затем в координатах n, x строят кривых, соответствующих T = const и R = const. По экспериментальным значениям коэффициентов пропускания T_эксп и отражения R_эксп, выби­рают соответствующую пару кривых T_эксп = const и R_эксп = const, по пересе­чению которых находят значение n и x. Преимущество метода состоят в относительной простоте расчета при достаточно полной модели (учитывается поглощение, многократное прохождение и интерференция излучения).

4. Для слабо поглощающих пленок применяется метод расчета оптических постоянных по спектральной интерференционной кривой коэффициента пропускания Т (или отражения R). К наиболее важным оптическим характеристикам пленки относятся пропускание τ, толщина t и показатель преломления n₂:

(7), (8), (9)

где λ – длина волны, ń₂ – комплексный показатель преломления, x – коэффициент поглощения.

Для проведения расчетов необходимо интерференционная кривая пропускания образца (пленки на подложке) в функции длинны волны λ (волнового числа ν). Обозначим показатели преломления последовательно расположенных сред: n₁=ρ – для воздуха, n₂ – для пленки, n₃ – для подложки, n₄ – для воздуха. Величина коэффициентов отражения R₁ на границе 1,2 и R₂ на границе 2,3 определяются следующим образом:

(10)

Пропускание интерференционного фильтра, таким является рассматриваемая система, в максимуме полосы равно:

(11)

где T _max =T'_max+T"_max, (11’)

T' _max – значение максимума пропускания по экспериментальной кривой T(ν);

T" _max =R₃ – (1 – T' _max) R₃ – слагаемое, учитывающее R₃ – отражение на границе 3,4.

(13)

Оптическая толщина плёнок равна:

(14)

Где ν_n+1, ν_n – волновые числа соседних экстремумов на кривой T(ν). Контрастность С интерференционного фильтра определяется:

(15)

где T _min =T' _min +T" _min, (15’)

T' _min – значение минимума пропускания по экспериментальной кривой T(ν);

T" _min =R₃ – (1 – T' _min) R₃ – слагаемое, учитывающее отражение на границе 3,4.

Совокупность уравнений (11), (14), (15) являются системой, в результате решения которой определяются значения основных оптических параметров плёнки τ, t и n₂. Последовательность вычислений искомых величин такова. Из формулы (15) выразим единственный независимый в ней показатель преломления n₂, учитывая, что R₁ и R₂ в ней задаются формулами (10), T _max – формулой (11’), T _min – формулой (15’).

(17)

После расчета R₁ и R₂ по формулам (10) вычисляем τ, выражение для которогo получим из (12);

(18)

(19)

Толщина плёнки t определяется из (14), а затем на основе формул (7) и (8) рассчитываются значения k и x. Таким образом, все оптические константы плёнки рассчитаны.

Погрешность вычислений будет зависеть в основном от неточности представления величин R₁ и R₂ по формулам (10), не учитывающим поглощения в плёнке. Точная запись для коэффициентов отражения на границе 1,2 и R₂ на границе 2,3 соответственно имеет вид:

(20)

Найдем: начиная с каких значений x относительная ошибка в определении R₁'; превысит на перёд заданную величину γ₁

(21)

Из (21) выразим x:

(22)

Дата добавления: 2015-08-05