Произвольные колебания

Поставим задачу определить период колебаний T математического маятника без ограничения sinj»j. Задача вновь приводит к решению дифференциального уравнения

.

Обозначим и умножим почленно уравнение (19.3) на dj и учитывая, что

,

получим

Проинтегрировав, последнее соотношение находим

.

Учитывая начальные условия: при j=a , имеем и, следовательно,

или

.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством

получим

.

Сделаем подстановку

.

Приходим к выражению:

.

Теперь уравнение (19.10) принимает вид

или

В силу начального условия: при t=0 j=0, из формулы (19.10) вытекает, что в начальный момент y=0, а из условия: при t=T/4 j=a следует, что y=p/2. Поэтому

,

где . Итак, период колебаний маятника равен

,

где

является эллиптическим интегралом первого рода. Разложим в ряд

Полагая

получаем

Этот ряд сходится равномерно относительно φ, ибо мажорируется при всех значениях φ сходящимся рядом

следовательно, получим почленным интегрированием

После подстановки значения k в формулу (10) приходим к искомому выражению периода колебаний маятника:

,

то есть колебания маятника при конечной угловой амплитуде a свойством изохронности не обладают — его период зависит от угловой амплитуды ко­лебаний a.

Считая a малой величиной и пренебрегая в формуле (19.13) членами разложения, содержащими a во второй и более степенях, получим приближенную формулу (19.9):

При угловой амплитуде колебаний a =20° период колебаний, подсчитанный по формуле (11) или по более точной формуле (19.13), больше периода колебаний маятника, определенного по приближенной формуле (19.9), всего лишь на 0,8%, но при a =60° – соответственно уже на 3,5%.

---

Дата добавления: 2015-07-20