Часть 2. Циклоидальный маятник

Циклоидальным называется маятник, который может быть представлен как материальная точка, движущаяся по дуге циклоиды.

Рис. 19.2

Покажем, что колебания циклоидального маятника, в отличие от колебаний математического, обладают свойством изохронности, то есть его период колебаний не зависит от начальных условий движения. Представление о циклоиде связано, например, с траекторией точки А лежащей на ободе колеса, которое катится без скольжения по прямолинейному рельсу (рис.19.2а).

На рис. 19.2 б изображено колесо, массой которого по сравнению с массой точки А, укрепленной на его ободе, можно пренебречь. Колесо катится по рельсу, расположенному над ним. Покажем, что движение точки А является колебательным около нижней точки В циклоиды, причем период этих колебаний не зависит от начальных условий движения.

Выберем в качестве обобщенной координаты угол j образуемый радиусом АС точки А с вертикалью. Уравнение циклоиды в параметрическом виде имеет вид

,

где r- радиус колеса.

Уравнение Лагранжа для маятника таково:

.

Единственной активной силой, действующей на маятник, является сила тяжести материальной точки, которую мы обозначим Р. Потенциальная энергия U материальной точки выражается формулой:

.

В свою очередь, обобщенная сила Q может быть записана так:

.

Внося в эту формулу выражение (19.16), имеем

.

Вычислим кинетическую энергию Т материальной точки:

.

Формула (19.14) позволяет найти проекции скоростей на оси координат

.

Выражение для энергии примет вид формула (5) принимает вид

.

Вычислим частную производную кинетической энергии Т по обобщенной скорости

и по времени от полученной производной:

.

Найдем теперь частную производную выражения (19.18) кинетической энергии Т по обобщенной координате j

.

Подставив выражения для производных в уравнение Лагранжа (19.15), получим

.

Вводя тригонометрические функции половинных, углов и сокращая на sin(j)/2, имеем

.

Нетрудно видеть, что

Следовательно, дифференциальное уравнение (19.22) можно записать так:

.

Наконец, обозначив cos(j/2) = z, приходим к уравнению

,

где k²=g/4r.

Таким образом, точное дифференциальное уравнение (19.23) колебаний циклоидального маятника аналогично приближенному дифференциальному уравнению (19.6) колебаний математического маятника:

.

Это значит, что колебания циклоидального маятника обладают свойством полной изохронности, т.е. период его колебаний не зависит от начальных условий движения.

Воспользовавшись формулой (19.9), можно записать период колебаний в виде

,

где .

Эволюта циклоиды (геометрическое место центров кривизны) также является циклоидой, тождественной исходной. Поэтому для осуществления рассматриваемого маятника следует вырезать шаблон, изображающий два участка дуг циклоиды, примыкающие к ее точке возврата О (рис. в). Нить длиной при колебаниях частично накладывается то на левую, то на правую части шаблона, а материальная точка, находящаяся на конце нити, при этом движется по циклоиде.

Дата добавления: 2015-07-20