II. Теоретическая часть

I. Цель работы

Наблюдения над колебательными движениями математического маятника, реализуемые на приборе, функциональная схема которого, представлена на рисунке 1.

Измерение периода колебаний маятника при различных длинах и амплитудах.

Определение режима изохронности колебаний математического маятника.

Вычисление ускорения свободного падения шарика по результатам указанных измерений.

II. Теоретическая часть

Рассмотрим прибор, состоящий из шарика небольших размеров, прикреплённого к неподвижной точке подвеса с помощью невесомой нерастяжимой нити определённой длины (рис. 1).

Если размеры шарика много меньше длины l нити, то шарик можно рассматривать как материальную точку; а если масса шарика много больше массы нити, то последнюю можно считать невесомой. Нить также можно считать нерастяжимой при условии, что сила тяжести шарика вызывает бесконечно малое удлинение нити.

Данный прибор позволяет моделировать колебательные движения так называемого математического маятника.

Рис. 1. Прибор для изучения колебаний математического маятника: 1. Металлическая пластина для установления угла отклонения маятника; 2. Подвижная платформа; 3. Измерительная линейка.

Рис 2. Иллюстрация колебательных движений математического маятника.

Действительно, в исходном состояние нить направлена вертикально вниз (положение 1 на рисунке 2). В этом случае сила F натяжения нити и сила mg тяжести шарика совпадают с направлением нити, но противоположно направлены. Так как нить нерастяжима, то обе силы уравновешивают друг друга, т.е. F = mg. Шарик находится в покое. Такое состояние маятника называется положением его равновесия.

Выведем маятник из положения равновесия, отклонив шарик от первоначального состояния на угол φ₀ (рис. 2). После чего отпустим его без толчка. Под действием силы тяжести mg шарик начнёт движение в сторону положения равновесия, через некоторое время перейдёт его, затем с другой стороны от положения равновесия отклонится от него на некоторый угол меньший чем φ₀ и под действием силы тяжести снова устремится в сторону положения равновесия. При отсутствии внешних воздействий на шарик последний будет совершать описанное движение в одной плоскости. Очевидно, что траекторией движения шарика будет дуга окружности радиуса l. Такие движения называются колебаниями.

Вследствие действия силы сопротивления на шарик, его колебания будут затухающими свидетельством чего служит то, что после каждого прохождения равновесия он будет отклоняться от него на всё меньший и меньший угол. Однако если наблюдать данный процесс в течение довольно короткого времени, то колебательный процесс можно признать незатухающим.

Рассмотрим силы, которые действуют на шарик в произвольный момент времени t. Пусть φ – угол отклонения нити в этот момент. Запишем следующее уравнение второго закона Ньютона на направление τ, совпадающим с касательной, проведённой к той точке траектории движения шарика, в которой он находится в рассматриваемый момент времени t.

ma_τ = - mg sin φ (1)

Здесь a_τ – тангенциальное ускорение, m – масса шарика. Знак минус справа в (1) учитывает то обстоятельство, что при движении от положения равновесия вверх сила тяжести препятствует этому движению.

Угловое ускорение ε шарика определяется как вторая производная по времени от угла φ, т.е.

. (2)

Между тангенциальным ускорением a_τ и угловым ε имеет место очевидная связь

(3)

Уравнение (1) с учётом формул (2) и (3) принимает вид:

. (4)

В уравнение (4) неизвестная функция φ(t) стоит под знаком производной второго порядка. Такое уравнение в математике называют обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.

Его можно упростить, если учесть, что при малых углах φ, измеренных в радианах . Тогда вместо (4) будем иметь

. (5)

Уравнение (5) описывает движение маятника. Его ещё называют уравнением гармонического осциллятора.

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что решение уравнения (5) имеет вид

, (6)

если через обозначить

. (7)

Таким образом, видно, что изменения угла φ по времени происходит по синусоидальному закону. Величина φ₀, равная максимальному углу отклонения от положения равновесия, называется амплитудой гармонических колебаний. Величина амплитуды в данном случае зависит от первоначального отклонения. Величина же стоящая под знаком синуса называется фазой. Фаза растёт пропорционально времени. Величина под знаком синуса называется начальной фазой, которая в рассматриваемом движении равна нулю.

Функция синуса, определяющая характер колебательных движений, суть периодическая функция с величиной периода равного . Последнее означает, что если через T обозначить период колебаний маятника, то можно написать следующее равенство для величины фазы

, (8)

где – круговая частота.

Теперь с учётом (7) для периода Т будем иметь:

(9)

Соотношение (9) свидетельствует о том, что линеаризация уравнения (4) привела к уравнению (5), решение которого допускает независимость Т от амплитуды φ_0.

Такие колебания называются изохронными.

Формулу (9) можно ещё представить так:

kl, (10)

где через

(11)

обозначен угловой коэффициент линейной функциональной зависимости функции T² от аргумента l.

Следовательно, изохронность колебаний маятника проверяется справедливостью соотношения (10) по измеренным значениям периода T при различных значениях l, соотнесённых к одному и тому же углу φ₀.

Функциональная зависимость , построенная по экспериментальным точкам, позволяет определить угловой коэффициент k, через числовое значение которого ускорение g свободного падения шарика вычисляется так:

. (12)

Кроме того по единичным измерениям T и l ускорение g можно вычислить ещё из такого соотношения:

(13)

Дата добавления: 2015-07-24