Малые колебания

Решение нелинейного дифференциального уравнения колебаний маятника (19.3) представляет известные трудности. Поэтому решим задачу приближенно, считая колебания маятника малыми. Разложив sin j в ряд

и пренебрегая членами разложения порядка выше первого, получим sinj» j. Тогда дифференциальное уравнение (19.3) принимает вид:

.

Обозначив , запишем окончательно:

.

Решения этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде . Подстановка j в уравнение (19.6) приводит к характеристическому уравнению

.

Корни характеристического уравнения равны .

Общее решение уравнения представляет собой функцию

.

Используя функцию Эйлера выражению можно придать вид:

.

Постоянные интегрирования определим из начальных условий: в начальный момент маятнику, нить которого занимала отвесное положение, была сообщена посредством толчка начальная угловая скорость, то есть при t =0 имеем j ₀=0 и w=w ₀.

Дифференцируя по времени, выражение для j (23.7), находим

.

Подставив в (19.7) t=0 и j=0, а в (23.8) t=0 и w=0 получим C ₁=0 и С ₂=(dj/dt)/ w. Теперь уравнение (19.7) можно записать так

,

здесь . Обозначим ; тогда окончательно имеем

.

Итак, маятник совершает гармонические колебания с угловой амплитудой a и с частотой При малых колебаниях маятника выполнено условие sinj» j. Это означает, что круговая частота колебаний математического маятника не зависит от начальных условий движения, то есть колебания маятника обладают свойством изохронности.

Период колебаний маятника равен

.

Масса материальной точки не входит в выражение периода колебаний Т. Следовательно, материальные точки с различными массами имеют при одинаковой длине нити маятника L один и тот же период колебаний.

Замечание. В секундном маятнике Т/2 = 1 с, или , т. е. длина нити секундного маятника равна приблизительно равна 1 м.

Дата добавления: 2015-07-20