При изменении базиса

Билинейные и квадратичные формы в n-мерном

Действительном пространстве

Определение. Билинейной формой в действительном векторном пространстве называется выражение

(однородная функция второй степени)

или

, где

.

Пример.

.

Преобразование коэффициентов билинейной формы

при изменении базиса

Пусть два базиса в n -мерном линейном пространстве . Пусть разложение вектора нового базиса по старому базису .

Далее, пусть в базисе билинейная форма имеет вид

, а в базисе имеет вид

.

Покажем, что У вектора j -я координата равна 1, а остальные координаты равны 0. У вектора k координата равна 1, а остальные коэффициенты равны 0. Поэтому одно слагаемое в линейной форме равно , а остальные равны нулю. На том же основании .

Обозначим через старые и новые координаты векторов x, y, получаем, что:

Таким образом, при переходе от одного базиса к другому, матрица коэффициентов билинейной формы преобразуется с помощью матрицы прямого перехода.

Пример. Пусть – билинейная форма в базисе . Найти выражение билинейной формы в базисе

Дата добавления: 2015-07-26