Сходимости числовых рядов

Точное вычисление суммы числового ряда возможно только лишь в редких случаях. Поэтому за приближенное значение суммы ряда принимается величина n -й частичной его суммы, то есть , с последующей оценкой погрешности. При этом, однако, предварительно следует исследовать сходимость ряда, поскольку отыскание суммы расходящегося ряда теряет смысл.

Общий признак сходимости числового ряда устанавливается критерием Коши: для того, чтобы числовой ряд (1.1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа существовал такой номер , зависящий от , что при

и любом целом выполнялось неравенство

то есть

. (1.7)

Следует заметить, что критерий Коши имеет большое теоретическое значение, но на практике может быть использован только лишь для доказательства расходимости рядов, при этом его применение сопряжено с существенными трудностями. В связи с этим для исследования поведения числовых рядов реализуются более простые, но менее общие признаки сходимости и расходимости рядов.

Для рядов с произвольными членами одним из таких признаков является необходимый признак сходимости: если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть . На практике этот признак реализуется как достаточный признак расходимости: если общий член ряда к нулю не стремится, то этот ряд расходится.

Пример 1.3. Доказать расходимость гармонического ряда

. (1.8)

Р е ш е н и е. Воспользуемся критерием Коши сходимости числового ряда. Если положить , то согласно (1.7) в случае сходимости ряда (1.8) для любого натурального должно выполняться неравенство

.

Однако если положить , то это неравенство не выполняется, так как имеет место

,

поскольку при .

Таким образом, гармонический ряд (1.8) является расходящимся рядом, несмотря на то, что для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости:

.

Пример 1.4. Убедиться в расходимости ряда

Р е ш е н и е. Применим необходимый признак сходимости ряда, или, что то же самое, достаточный признак его расходимости. Так как общий член ряда равен

,

то

= = .

Поскольку общий член исходного ряда к нулю не стремится, то этот ряд расходится.

Задание 1.2. Доказать расходимость следующих числовых рядов:

а) ; б)

Дата добавления: 2015-07-26