Производная по направлению.

u=f(x,y,z), .

- производная функции u по направлению l в направлении l не изменяется.

Свойства производной по направлению:

1. Производная по направлению – величина скорости изменения функции в направлении из заданной точки;
2. Производная по направлению, совпадающая с любой из координатных осей, превращается в частную производную;
3. Если у вектора поменять направление, производная изменит знак;
4. Производная по направлению равна нулю, если направление совпадает с касательной к линии уровня или с касательной, лежащей на поверхности уровня.

Градиент – вектор, который является частной производной заданной функции

.

- производная по направлению.

Свойства вектора градиента:

1. Производная вдоль любого направления от функции от заданной точки равна проекции вектора градиента на это направление;
2. Проекция вектора градиента м.б. положительной и отрицательной из-за косинуса «фи». Исходя из знака проекции, функция вдоль направления либо возрастает, либо убывает;
3. Если направление перпендикулярно вектору градиента, то производная по направлению равна нулю, так как проекция нулевая;
4. Наибольшего значения производная по направлению достигает в направлении вектора градиента (в противоположном направлении она с наибольшей скоростью убывает). Градиент – вектор скорости наибольшего возрастания (убывания) функции и направлен он по нормали к поверхности или линии уровня.

Формула Тейлора для функции 2-х переменных – y=f(x), по степеням (x-x0) -

Формула Тейлора через приращения –

- универсальная формула, если выполнить необходимые подстановки, получаем -

Дата добавления: 2015-07-24