Теорема о функции, непрерывной на некоторой области.

1. Если функция непрерывна в замкнутой области, то она достигает хотя бы 1 раз своего наибольшего и наименьшего значения;
2. Если функция непрерывна в замкнутой области и определены ее наибольшее и наименьшее значения M=sup f(x,y) и m=inf f(x,y), то все ее значения попадают m<=f(x,y)<=M.
3. Если функция непрерывна в замкнутой области и принимает как отрицательные, так и положительные значения, то по крайней мере 1 раз она примет значение f(x,y)=0.

Дифференцируемая (в точке) функция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.

Частной производной функции по любой переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к самому приращению аргумента при последнем, стремящемся к нулю - .

1. Зафиксировать переменную x=const, восстановить плоскость через прямую x=const перпендикулярно плоскости (XOY);
2. Данная плоскость пересекается с поверхностью z=f(x,y) по некоторой линии;
3. В заданной точке (x0,y0,z0) на линии провести касательную к ней, целиком лежащую в этой восстановленной плоскости;
4. Угол, полученный в пересечении касательной и прямой x=const есть искомый угол .

Полное приращение функции - = - теорема Лагранжа.

Применим т. Лагранжа для каждой скобки в отдельности - , . Если перейти к пределу - . По теореме о функции, имеющей предел - .

Функция, приращения которой можно представить в виде (1), а именно в виде линейной части относительно и бесконечно малой части относительно этих же аргументов, называется дифференцируемой функцией. При этом линейная часть или главная часть приращения функции называется дифференциалом функции - . Геометрический смысл дифференциала функции 2-х переменных – приращение аппликаты, касательной плоскости.

Дифференциал второго порядка - .

Дата добавления: 2015-07-24