Производная по заданному направлению и градиент функции

Частные производные функции по , по и по выражают «скорость изменения» функции по направлению координатных осей. Распространим понятие «скорости изменения функции» по любому заданному направлению.

Пусть определена в некоторой области D. Рассмотрим любую точку и любую направленную прямую (ось) , проходящую через эту точку (рис. 11). Пусть произвольная точка этой оси, длина отрезка между двумя точками, взятая со знаком «+», если направление совпадает с направлением оси , и со знаком минус – в противном случае.

Предел

называется производной от функции по направлению (или вдоль оси ) в точке и обозначается следующим образом:

.

Эта производная характеризует «скорость изменения» функции в точке по направлению .

Если ось образует с осями координат углы , и , то единичный вектор по направлению имеет координаты . В случае, если функция имеет в рассматриваемой области непрерывные частные производные, производная по направлению выражается формулой

.

Градиентом функции называется вектор , координатами которого являются частные производные функции:

.

Справедлива следующая формула, представляющая производную по направлению в виде скалярного произведения векторов и градиента функции :

.

По определению скалярного произведения, помня, что , имеем

,

,

где – угол между векторами и .

Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину, когда , т.е. когда угол между этими векторами равен нулю. Иными словами, когда направление совпадает с направлением градиента функции. При этом

. (13)

( – единичный вектор по направлению ).

Таким образом, градиент функции в каждой точке указывает направление максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке, а его длина – величину скорости возрастания.

Понятия производной по направлению и градиента функции используются во многих приложениях.

Пример 11. Найти производную от функции в точке в направлении градиента.

Решение. Найдем частные производные функции в точке и составим вектор градиента функции в этой точке:

, ,

, ,

.

Найдем единичный вектор данного направления:

,

, .

Тогда

.

Мы на примере убедились в справедливости формулы (13).

Дата добавления: 2015-07-20