Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интерполирование по схеме Эйткена

Читайте также:
  1. ВВУ. Выпрямитель возбуждения уравнительного типа предназначен для работы в схеме защиты от боксования в качестве уравнителя тока возбуждения тяговых двигателей.
  2. Действие крана при независимой схеме включения.
  3. Занятие 3.4. Интерполирование функций.
  4. Интерполирование функции кубическим сплайном.
  5. Интерполирование функции полиномами.
  6. Компоновка двухступенчатого цилиндрического редуктора, выполненного по развернутой схеме

Итерационные методы интерполирования основаны на повторном применении некоторой простой интерполяционной схемы. Наиболее известным из итерационных методов является метод Эйткена, в основе которого лежит многократное применение линейной интерполяции.

В соответствии со схемой Эйткена линейная интерполяция по точкам Mi (xi, yi) и Mi +1(xi +1, yi +1) сводится к вычислению определителя второго порядка

При интерполировании по трем и более точкам последовательно вычисляются многочлены

 

 

В общем случае интерполяционный многочлен n -й степени, принимающий в точках xi значения yi (i = ), записываются следующим образом:

(3)

Основным достоинством схемы Эйткена является возможность постепенного увеличения числа используемых значений xi до тех пор, пока последовательные значения P 0,1,2,…, n (x) и P 1,2,…, n -1 (x) не совпадут в пределах заданной точности. Иначе говоря, вычисления прекращаются при выполнении условия

| P 0,1,2,…, n (x) - P 1,2,…, n -1 (x)| < e (k £ n).

При использовании ЭВМ вычисления по формуле (3) реализуются в виде рекурсивной подпрограммы - функции РХ(I, J) с формальными параметрами I, J, определяющими индексы крайних узлов интерполирования, которые используются для получения значения соответствующего многочлена Pi , i +1,…, j (x).

Для хранения вычисленных значений P (x)используется двумерный массив M размером N*N элементов, где N - максимальное число узлов интерполирования. Каждому возможному значению P (x) соответствует один из элементов M(I, J), расположенный выше главной диагонали (I < J) и определяемый сочетанием индексов крайних узлов интерполирования.

Например, значению многочлена P 1,2 (x) соответствует элемент M(1,2), значению P 2,3,4(x)- элемент M(2, 4) и т.д. Симметричные элементы M(J, I), расположенные ниже главной диагонали (J > I), показывают, вычислены ли соответствующие значения P (x) на данный момент, и определяются как

Схема рекурсивной процедуры PX приведена на рис. 1, где Х- массив значений узлов интерполирования, Y- массив значений функции в узлах интерполирования, Z- значение аргумента.

Рис. 3. Схема рекурсивной процедуры PX

 

Интерполяционный полином Лагранжа.

Более удовлетворительный способ построения полинома состоит в использовании базиса так называемых лагранжевых полиномов

¡ Пусть функция f(x) задана таблично. Это могут быть, например, значения концентраций продуктов реакции в зависимости от времени, полученные экспериментально.

¡ Значения x 0, x 1,..., x n называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими (шаг таблицы неравномерный).

¡ Построим интерполяционный многочлен на отрезке [ x 0, x n]. Запишем искомый многочлен в виде:

Pm(x)=a 0 +a 1 x + a2x2 +... + amxm.

¡ Геометрически задача интерполирования сводится к построению кривой через заданные точки.

¡ Аналитически задача сводится к решению системы уравнений

¡ Для определения коэффициентов многочлена Pn(x) необходимо располагать n +1 узловой точкой.

¡ Пусть в n +1-ой точках x 0, x 1,..., x n определены значения y 0, y 1,..., y n.

¡ Требуется построить многочлен Pn (x), принимающий в узловых точках заданные значения yi, т.е. такой, что

Pn(xi) = yi i = 0,1,..., n.

¡ Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома

,

¡ где Li (x) - множитель Лагранжа, имеющий вид:

¡ Следовательно, формулу Лагранжа можно представить в виде:

¡ Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения x = xi, так как результат будет равен нулю.

¡ В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать:

Пусть дана таблица значений

 

х х1 х2 х3 ............ хп
у у1 у2 у3 ............ уп

 

Требуется составить полином (функцию) y = f (x) степени m ≤ n – 1, который принимал бы заданные значения yi при соответствующих значениях xi: yi = f (xi) (i = 1, 2, 3, ………n). Иными словами график функции должен проходить через заданные точки M (xi; yi)

Данная задача выполнима при использовании интерполяционного полинома Лагранжа:

+

+......

.+ (1)

или

(2)

 

где - вспомогательная функция п -й степени, в которой xi заданные табличные значения аргумента.

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 383 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Постановка основной задачи интерполирования| Пример 2.1

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)