Постановка основной задачи интерполирования

Рис. 2. Узлы интерполяции и интерполирующая функция

Пусть на конечном отрезке [ a;b ] заданы n +1 точки: x 0 ,x 1 ,...,xn (сетка), которые называются узлами интерполяции, и значения функции f (x) в них

f (x ₀) = y ₀ , f (x ₁) = y ₁ ,..., f (x_n) = y_n. (1.1)

Требуется построить функцию F(x) (интерполирующая функция) из известного класса (должен быть определен дополнительно) и принимающую в узлах сетки те же значения, что и функция f (x):

F(xk) = f (xk) = yk, k = 0 ,n. (1.2)

Геометрическая иллюстрация этой задачи показана на рис. 2: искомая интерполирующая функция y = F(x) (непрерывная линия на рисунке) проходит через точки M_k (x_k, y_k),

k = 0 ,n, отмеченные кружками на координатной плоскости. Видно, сколь значимо отличается исходная функция от интерполирующей. В этой постановке (1.2) задача интерполирования некорректна: имеется неединственное решение в силу произвольности выбора интерполирующей функции из предложенного класса функций. Однако эта задача становится корректной, если вместо произвольной функции F(x) искать многочлен P_n (x) порядка не выше n, удовлетворяющий условиям:

P_n (x_k) = y_k, k = 0 ,n. (1.3)

Полученную интерполирующую функцию y = Pn (x) называют интерполяционным полиномом и обычно используют при вычислении значения данной функции y = f (x) или ее производных для значений аргумента, отличных от узлов интерполирования. Если интерполяционный полином строится сразу для всех узлов сетки, то его называют глобальным. После выбора класса многочленов в качестве интерполирующей функции остается свобода выбора базиса в пространстве таких многочленов. Наиболее очевидный базис из одночленов 1, x, x ² ,..., xⁿ приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Вандермонда, которая плохо обусловлена (Это является следствием почти линейной зависимости таких функций. На отрезке [0;1] степенные одночлены положительны и принимают на концах отрезка одни и те же значения, равные 0 и 1. Значит, их скалярное произведение заведомо не может быть равным или достаточно близким к нулю).

Дата добавления: 2015-07-24