Занятие 3.4. Интерполирование функций.

Термин интерполяция употребляют, если х заключено между узлами, если он выходит за крайний узел, говорят об экстраполяции(при которой трудно гарантировать надежность приближения).

Интерполяция - приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. В первоначальном понимании - восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных точках. От латинского approximo - приближаюсь. Замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

Задача интерполяции состоит в построении такой функции, чтобы в узлах сетки эта интерполирующая функция принимала заданные значения из таблицы, а в других точках - по возможности приемлемые значения.

Если ординаты функции в таблице вычислены точно, то можно надеяться, что сформулированные задачи имеют разумные решения. Этот круг задач носит название интерполирование функции. С ними тесно связанны процедуры интегрирования и дифференцирования табличных функций, вычисление значений табличных функций вне сетки и т.д. Если же, с другой стороны, эти точки получены в результате сравнительно грубых измерений, то неправомерно требовать от интерполирующей функции точного следования заданным значениям из таблицы. Этот круг задач носит название аппроксимации функции (интерполяции с ошибками). Методы приближенного интегрирования и дифференцирования, а также сглаживания табличных функций, вычисление приближенных значений табличных функций вне сетки и т. д., интенсивно используют аппарат аппроксимации. Термин аппроксимации применяется и тогда, когда намеренно производится поиск не самой функции, а более простого ее аналога. Допуская отклонения интерполяционной функции от измеренных величин таблицы, можно провести анализ допущенных ошибок или даже подправить измерения.

Цели интерполяции разнообразны. Но почти всегда в ее основе лежит желание иметь быстрый и простой алгоритм вычисления значений функции в точках, не входящих в таблицу. Компактная таблица данных и простой алгоритм интерполирования могут заменить очень большую таблицу значений функции.

Очень важно для задачи интерполирования определение того, как должна вести себя функция между заданными точками. Принципиально точки таблицы могут быть интерполированы множеством значений различных функций. Следовательно, необходим некоторый критерий выбора. Обычно такие критерии формулируются в терминах гладкости интерполирующей функции или простоты вычисления. Например, функция должна быть дважды дифференцируемой и модуль ее второй производной должен быть достаточно малым либо интерполирующая функция принадлежит классу многочленов наименьшего порядка.

Многие интерполирующие функции порождаются линейными комбинациями некоторых элементарных функций. Линейные комбинации одночленов приводят к алгебраическим полиномам или многочленам, тригонометрических функций - к тригонометрическим полиномам и т.д.

Необходимость: приблизить f(x) более простой функцией ф(х), совпадающей в узлах xi с f(xi), если f(x) определена только в узловых точках (результат эксперимента) или очень сложно вычисляется.

Дата добавления: 2015-07-24