Производная функции, заданной в полярных координатах.

Полярная система координат является наиболее важной после декартовой системы координат на плоскости. Поясним сначала, как вводятся полярные координаты.

На плоскости выбирают точку (полюс) и луч с началом в точке (полярная ось, в декартовой системе координат это положительная полуось ). Тогда каждой точке плоскости можно сопоставить пару чисел – её полярные координаты (рис. 1). Здесь , , – полярный радиус, равный длине отрезка (вместо часто пишут ); – полярный угол, то есть угол поворота (в радианах) полярной оси до её совмещения с лучом . Если поворот осуществляется по часовой стрелке, то считают, что , а если против – то . Вектор – это радиус-вектор точки .

Каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости. Но каждой точке плоскости, отличной от точки , отвечает при этом множество пар чисел , . Точке отвечают все пары чисел вида . Таким образом, в полярной системе координат, в отличие от декартовой, соответствие между точками плоскости и их полярными координатами, вообще говоря, не взаимно однозначное. Оно будет взаимно однозначным, если потребовать, например, чтобы и удовлетворяли условиям

, , или , .

Совместим полюс с началом декартовой системы координат, а полярную ось – с положительной полуосью (рис. 2).

Тогда

, . (2)

Э то формулы перехода от полярных координат к декартовым. Переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам

, (),

где нужно выбирать с учётом знаков и в соответствии с (2).

Уравнение () имеет решения

, .

Если , то здесь нужно взять

при ;

при , ;

при , ;

кроме того, при , .

Иными словами, при имеем , где .

Пусть задана функция , . Её график в полярной системе координат – это множество всех точек плоскости с полярными координатами , где . Если функция непрерывна на множестве , то её график в полярной системе координат есть непрерывная плоская кривая.

Перейдём с помощью формул (2) от функции , заданной с помощью полярных координат, к её параметрическому представлению в декартовой системе координат :

(3)

где роль параметра исполняет полярный угол . Т.о. при выполнении условий

1) функция строго монотонна и непрерывна на ,

2) функция непрерывна на ,

3) функции , дифференцируемы на , причём ,

то (см. нахождение производной параметрически заданной функции) имеем:

.

Пример. Найдем производную функции , , , где – полярные координаты точки .

Функция определена и непрерывна на . Параметрическое представление этой функции в соответствии с (3):

Поскольку на выполнены условия 1) – 3) теоретической части, причём

, , то

.

Дата добавления: 2015-07-20