Производная функции, заданной параметрически.

Рассмотрим систему функций

(1)

Пусть при ( некоторый промежуток) выполнены два условия:

1) функция строго монотонна и непрерывна;

2) функция непрерывна.

Тогда (по теореме существования и непрерывности обратной функции) на некотором промежутке определена функция , для которой промежуток является множеством значений, которая является строго монотонной и непрерывной на . Следовательно, на определена сложная функция , непрерывная на . Так определённая функция , заданная системой (1) называется параметрически заданной функцией. Она определена на множестве значений функции . Переменная называется параметром.

Если выполнены условия 1), 2) и

3) функции , дифференцируемы на промежутке , причём ,

то по теореме дифференцирования сложной функции имеем , а по теореме о дифференцировании обратной функции , откуда

.

Замечание. Отметим, что если на промежутке выполнены условия:

1') функция строго монотонна и непрерывна;

2') функция непрерывна,

3') функции , дифференцируемы на промежутке , причём ,

то можно найти производную функции аналогично, как это было выполнено выше, поменяв роли функций и :

.

Пример. Найдем производную функции, заданной параметрически системой функций

.

Функции и непрерывны и дифференцируемы на , функция возрастает на , , следовательно, выполнены условия 1) – 3) теоретической части. Так как , то на имеем

.

Дата добавления: 2015-07-20