Производная.

Определение. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е.

Геометрический смысл производной.

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Это также угловой коэффициент k касательной.

Уравнение касательной:

Механический смысл производной.

v(t)=x¢ (t)- производная от координаты по времени есть скорость.

a=v¢ (t)- производная от скорости по времени есть ускорение.

Правила вычисления производных.

1) Производная суммы (разности) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) Производная произведения: (u×v)¢ =u×¢v+ u×v¢, (Сu)¢ = Сu¢.

3) Производная частного:

Производная степенной функции:

Некоторые производные:

С’=0, х’=1, (х²)’=2х, (х³)’=3х²

(√х)’= 1, (1/х)’=-1/х²

2√х

Производные тригонометрических функций.

(sinx)’ =cosx, (cosx)’ =-sinx, (tgx)’ =1/cos²x, (ctgx)’ =-1/sin²x.

Производная сложной функции h(x)=g(f(x)).

h’ (x0)=g’ (f(x0)) × f ’(x0).

Применение производной

Достаточный признак возрастания функции: Если f´(х)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции: Если f´(х)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Необходимое условие экстремума: Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна 0: f´(х)=0.

Признак максимума функции: Е сли функция непрерывна в точке х0, а f´(х)>0 на интервале (а;х0) и f´(х)<0 на интервале (х0;b), то точка х0- является точкой максимума функции f.

Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке х0, а f´(х)<0 на интервале (а;х0) и f´(х)>0 на интервале (х0;b), то точка х0- является точкой минимума функции f.

Правило исследования функции у= f(х) на экстремум:

а. Найти область определения функции;

б. Найти производную f´(х);

в. Найти точки, в которых выполняется равенство f´(х)=0;

г. Найти точки, в которых f´(х) не существует;

д. Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения функции у=f(х); получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции у=f(х) сохраняет постоянный знак;

е. Определить знак у´ на каждом из промежутков;

ж. Сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума в каждой из критических точек в соответствии с достаточным условием экстремума.

Дата добавления: 2015-07-20