Пуассоновский поток

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток.

Пуассоновский поток — это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t ₀, t ₀ + τ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a — параметр Пуассона.

Если λ (t) = const(t), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t. Если λ = var(t), то это нестационарный поток Пуассона.

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P ₀ от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ, тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Рис. 28.2. График вероятности непоявления ни одного события во времени

Вероятность появления хотя бы одного события (P _ХБ1С) вычисляется так:

так как P _ХБ1С + P ₀ = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, — другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t), тем больше вероятность того, что событие произойдет — график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Рис. 28.3. График вероятности появления хотя бы одного события со временем

Если увеличивать λ, то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ, вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Рис. 28.4. Влияние величины интенсивности потока на вероятность появления события в течение заданного интервала времени τ

Изучая закон, можно определить, что: m_x = 1/ λ, σ = 1/ λ, то есть для простейшего потока m_x = σ. Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток — поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m_x – σ < τ_j < m_x + σ. Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ_j = m_x = T _н/ N. Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ_j относительно m_x на [– σ; + σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ. В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

Рис. 28.5. Иллюстрация влияния величины σ на положение события на временной шкале

По смыслу P равно r, поэтому, выражая τ из формулы (*), окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/ λ · Ln(r),

где r — равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ — интервал между случайными событиями (случайная величина τ_j).

Пример 1. Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом — в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T _н = 100 часов. m = 1/ λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

Рис. 28.6. Алгоритм, генерирующий поток случайных событий в заданным λ

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма — моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T _н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t _{с i} и моментами времени, определяемыми как 3 · i, то в среднем величина будет равна σ = 3.

Дата добавления: 2015-07-26