Примеры решения задач. 1. В воде плавает льдина в виде параллелепипеда с площадью основания S и высотой Н

1. В воде плавает льдина в виде параллелепипеда с площадью основания S и высотой Н. Льдину погружают в воду с начальной скоростью . Определить ее скорость в произвольный момент времени, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости льдины.

Решение

До погружения льдина находится в равновесии. На нее действуют две силы (рис.1.15а): сила тяжести (где r_л - плотность льда) и выталкивающая сила Архимеда (где r_в - плотность воды; h - глубина погружения льдины в состоянии равновесия).

При погружении льдины на дополнительную глубину х (рис.1.15 б) появляются дополнительная сила Архимеда и сила сопротивления воды . Под действием этих сил льдина будет совершать затухающие колебания. Применяя второй закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение этих колебаний

или

, (1)

где - коэффициент затухания, а - собственная частота колебаний.

Как известно, решением уравнения (1) является функция

,

где - частота затухающих колебаний.

Скорость колебания льдины

.

Начальную амплитуду А₀ и начальную фазу j₀ определим из начальных условий (при t=0, х=0, х¢(0) = ₀):

,

.

Откуда , .

Таким образом, колебания льдины происходят по закону

.

Тогда искомая скорость льдины в произвольный момент времени

.

2. Тело массой m=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t=50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

Решение.

Энергия тела, совершающего гармонические колебания, определяется по формуле

.

Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

A= ,

получим

или E= , (1)

где - энергия тела в момент времени t=0.

К моменту времени t=50 с тело потеряло 60% своей первоначальной энергии, следовательно,

. (2)

Приравнивая (1) и (2), сокращая на Е₀ и логарифмируя обе части равенства, найдем:

.

Отсюда выражаем b:

. (3)

С другой стороны, . (4)

Из сравнения (3) и (4) получим .

После подстановки числовых значений найдем

r = 9,16 ×10^-5 кг/с.

3. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания, равным 1,6 с^-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид см.

Найти: 1) уравнение свободных колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.

Решение

Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

, (1)

где - частота затухающих колебаний; w₀ - собственная частота колебаний: b - коэффициент затухания.

По условию сдвиг фаз j между собственными и вынужденными колебаниями равен -3p/4, следовательно .

С другой стороны, .

Из равенства

следует

.

У нас w_В=10p, b=1,6 с^-1 Подставляя эти значения в (2), получим w₀=10,5p.

С учетом того, что b²<<w²₀ частота w затухающих колебаний равна частоте ₀ собственных колебаний. Следовательно, уравнение свободных затухающих колебаний примет вид

, см.

Уравнение внешней периодической силы

. (3)

Амплитудное значение вынуждающей силы

. (4)

После подстановки числовых значений получаем

F₀ =72 мН.

С учетом этого уравнение внешней периодической силы будет иметь вид

мН.

4. Сила, действующая на материальную точку, изменяется по гармоническому закону . В начальный момент времени скорость точки равна нулю. Как с течением времени изменяется скорость и положение точки?

Решение.

По второму закону Ньютона

или . (1)

Отсюда и скорость колеблющейся точки

. (2)

Обозначая , перепишем (2) в виде .

График изменения скорости представлен на рис. 1.16.

Если начальное положение точки принять за начало координат, то координата точки в любой момент времени определяется выражением

Таким образом, движение точки под действием периодической силы является поступательным с периодическим возрастанием скорости от 0 до 2v_m, a затем снова до нуля

.

Дата добавления: 2015-07-18