Примеры решения задач. 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси X около положения равновесия х =

1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси X около положения равновесия х = 0, частота колебания w₀=4 с^-1. В некоторый момент времени координата частицы х₀ = 25 см и ее скорость v_o= 100 см/с. Найти координату х и скорость v частицы через t = 2,4 с после этого момента.

Решение.

Запишем уравнение гармонических колебаний частицы в виде:

. (1)

Тогда уравнение скорости будет иметь вид

(2)

Для нахождения параметров данных уравнений воспользуемся начальными условиями. При t = 0 имеем

откуда и .

=35 см.

Координата х и скорость частицы v в момент времени t=2,4 с найдутся из уравнений (1) и (2): х = -29 см, v = -81 см/с.

2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,6 с и амплитудой А = 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь А/2: а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.

Решение.

Выберем за начало отсчета времени момент, когда точка проходит положение равновесия. Тогда уравнение колебаний будет иметь вид

Исходя из этого уравнения определим момент времени t₁, соответствующий положению точки х = А/2. Имеем

откуда

Значение средней скорости точки при ее движении из положения равновесия определяется из формулы

Время движения точки из крайнего положения до половины амплитуды будет равно

С учетом этого

3. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных колебаний, выражаемых уравнениями:

см,

см.

Написать уравнение результирующего колебания.

Решение.

Вначале, используя тригонометрические формулы, приведем уравнение второго колебания к виду

см.

Затем, построим векторную диаграмму сложения однонаправленных колебаний (рис. 1.3). Согласно теореме косинусов получим

где

Произведя вычисления, найдем: А=7 см.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определится из рис. 1.3.

j=-0,2 рад.

Уравнение результирующего колебания запишете в виде

см.

4. Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А ₁ = 3 см и А₂ = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если колебания взаимно перпендикулярны.

Решение.

Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

Так как по условию j₂ – j₁ = 0, cos0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде: , или , откуда .

Результирующим будет колебание точки вдоль прямой (рис. 1.4). Амплитуда этого колебания определится как:

.

Дата добавления: 2015-07-18