Анализ спектра сигнала с однотональной угловой модуляцией

Теперь разбираемся. Спектр бесконечен и состоит из гармоник кратных частоте модулирующего сигнала вправо и влево от центральной частоты. Амплитуды гармоник зависят от индекса модуляции . При этом пять слагаемых показывают поведение спектра. Первое слагаемое показывает что амплитуды четных гармоник ниже центральной частоты равны , при этом фаза этих гармоник равна , при этом каждая четвертая гармоника, начиная со второй (2,6,10,14,18... гармоники) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для первого слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 малиновым цветом. Второе слагаемое показывает амплитуды и фазы нечетных гармоник ниже центральной частоты. Амплитуды нечетных гармоник ниже центральной частот равны , а фазы . Сдвиг фазы на из-за того, что во вторую сумму входят синусы а не косинусы. Как и в первом слагаемом каждая четвертая гармоника, начиная с первой (1,5,9,13,17...) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для второго слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 синим цветом. Третье слагаемое показывает гармонику несущей частоты. Ее амплитуда , фаза . На рисунке 1 гармоника центральной частоты — черная. Четвертое слагаемое показывает амплитуды и фазы четных гармоник выше центральной частоты. Амплитуды такие же как и у четных гармоник ниже центральной частоты, а фазы равны , причем уже известный множитель сдвигает каждую четвертую фазу на , начиная со второй. На рисунке 1 гармоники четвертого слагаемого показаны красным цветом. И наконец последнее пятое слагаемое соответствует нечетным гармоникам выше центральной. Амплитуды те же что и у нечетных гармоник ниже центральной частоты, фазы равны . Сдвиг фазы на из-за того, что в сумму входят синусы а не косинусы, ну и конечно же каждая четвертая гармоника сдвинута на начиная с первой. На рисунке 1 гармоники пятого слагаемого показаны зеленым.

Рисунок 1: Амплитудный и фазовый спектры сигнала с фазовой модуляцией при m = 10

Несколько комментариев к рисунку 1. Полоса сигнала с угловой модуляцией по уровню 0,5 (-3 дБ) зависит от индекса модуляции и частоты модулирующего сигнала:

(13)

где - девиация частоты. Чем выше частота модулирующего сигнала и чем выше индекс модуляции, тем полоса сигнала выше. Из рисунка 1 хорошо видно, что при ровно 10 гармоник справа и слева имеют амплитуду выше половины максимума. На фазовом спектре показаны параллельные прямые проведенные через фазовый спектр касающиеся каждую четвертую гармонику и показывающие сдвиг фаз при изменении номера гармоники. При этом необходимо отметить, что приведенный на рисунке 1 фазовый спектр не учитывается периодичность фазы. Фазовый спектр с учетом периодичности фазы представлен на рисунке 2.

Рисунок 2: Фазовый спектр с учетом периодичности фазы

При этом полученный спектр с однотональной фазовой модуляцией при частоте модулирующего сигнала и индексе модуляции соответствует спектру сигнала с однотональной частотной модуляцией при девиации частоты Таким образом однотональная фазовая и частотная модуляции неотличимы. Различия будут наблюдаться если частота модулирующего сигнала будет меняться. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пусть имеется модулирующий сигнал с частотой 10 кГц.

(14)

Рассмотрим два сигнала - PM сигнал и - FM сигнал. Девиацию фазы при PM зададим , девиацию частоты при FM зададим . Несущую частоту обоих сигналов зададим равной

Амплитудные спектры FM и PM сигналов при данных параметрах приведены на рисунке 3.

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер Рисунок 3: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 10 кГц

Амплитудные спектры получились одинаковые, так как при заданных параметрах FM сигнала получаем девиацию фазы FM сигнала как у PM . Таким образом получили сигналы в полосе 200 кГц с одинаковым количеством гармоник справа и слева от несущей .

Теперь уменьшим частоту модулирующего сигнала в 2 раза, то есть Несущую частоту, а также девиацию частоты и фазы не меняем. Амплитудные спектры в этом случае приведены на рисунке 4.

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер Рисунок 4: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 5 кГц

Спектры изменились. Давайте разберемся. Шаг между гармониками уменьшился в 2 раза (по сравнению с рисунком 3), так как шаг между гармониками равен частоте модулирующего сигнала, а она уменьшилась в 2 раза. Поскольку при FM задается девиация частоты, то полоса FM сигнала не изменилась по сравнению с полосой FM сигнала на рисунке 3. Поскольку девиация частоты и девиация фазы связаны соотношением то девиация фазы при FM выросла в 2 раза за счет уменьшения частоты модулирующего сигнала (девиация частоты при FM не может изменятся). Действительно количество гармоник в полосе сигнала FM увеличилось в 2 раза. В PM наоборот задается девиация фазы, то есть количество гармоник в спектре, поэтому при уменьшении расстояния между гармониками девиация частоты PM сигнала уменьшается, в данном случае в 2 раза по сравнению с рисунком 3. Спектр PM как бы сжался по оси частот, не изменив формы, а спектр FM наоборот приобретает больше гармоник. Если же еще уменьшить частоту модулирующего колебания например до 2 кГц, то спектр FM останется таким же широким, так как девиация частоты не изменилась, но будет еще более насыщен гармониками, так как девиация фазы будет равна спектр PM же еще более «сожмется» оставив тоже количество гармоник. Девиация частоты при PM будет всего В этом можно убедится рассмотрев рисунок 5.

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер Рисунок 5: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 2 кГц

Дата добавления: 2015-07-18