Получение решения. Приведенная ЭММ является моделью квадратичного программирования, проведем оптимизацию средствами надстройки Поиск решения.

Рабочий лист может быть подготовлен в виде, представленном на рис.2.1.4.

Рис. 2.1.4. Рабочий лист

Диалоговое окно, отвечающее приведенному выше рабочему листу, представлено на рис.2.1.5.

Рис.2.1.5. Диалоговое окно

Оптимальное решение x₁ = 0,50, x₂ = 0,4725, x₃ = 0,0275 (рис. 2.1.6) предусматривает, что 50,00% будут составлять акции компании АТ&T, 47,25% акции GM и 2, 75% USS.

Рис.2.1.6. Результаты решения

Ожидаемый годовой доход равен 15,20%, вариация годового дохода портфеля составляет примерно 0,0215. Таким образом, стандартное отклонение равно14,67%.

В предположении о нормальном распределении дохода инвестиционного портфеля со средним значением 15,2% и с.к.о. 14,67% с вероятностью 95% можно ожидать, что в следующем году такой портфель будет давать доход от -14,14 до +44,54% (правило «двух сигм»).

Примечание. Доходность акций в году n определялась по формуле /Мур/:

(заключительная цена, n) - (заключительная цена, n-1) +(дивиденды, n)

(заключительная цена, n-1)

Здесь заключительные цены и дивиденды выражены в долларах на акцию.

Задача о раскрое

Пример задачи без учета комплектности. Организация изготавливает из бруса деревянные оконные блоки. Ставится задача поискарационального варианта раскроя бруса длиной L =700мм на элементы длиной мм, мм, мм (отходами на разгрузку, распил и т.п. можно пренебречь). Производственная программа по элементам 1-го вида 1200 шт., 2-го вида - 8000 шт., 3-го вида - 750 шт.

Математическое моделирование. Построим возможные способы (карты) раскроя исходного материала, с этой целью составим таблицу:

			L =700мм
	j				Отходы

Пусть x_j - количество единиц исходного материала, которое следует раскроить j -м способом (j=1,2,…,11). Таким образом, формально «раскройный» план представляет собой вектор .

С учетом введенных обозначений математическая модель задачи по критерию «минимум суммарных отходов при раскрое» имеет вид:

Получение решения (реализация модели). Приведенная ЭММ является моделью задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП).

Основные этапы компьютерной реализации этой модели средствами MS Excel (основное меню Данные/Поиск решения) представлены ниже на рис. 1.

(Начальная рабочая таблица и диалоговое окно Поиск решения)

Рис. 1. Основные этапы решения задачи о раскрое материалов средствами MS Excel

Выполнив оптимизацию средствами MS Excel получим решение:

х₂ = 1200; х ₆= 680; х₇ =250; min f(X) = 46000

(оптимальные значения остальных переменных равны нулю).

Таким образом, предлагаются следующие рекомендации по раскрою бруса («раскройный» план):

- раскроить каждую из 1200 единиц бруса на 1 элемент первого вида и 3 элемента второго вида;

- раскроить каждую из 680 единиц бруса на 5 элементов второго вида;

- раскроить каждую из 250 единиц бруса на 4 элемента второго вида и 3 элемента третьего вида.

Минимальные суммарные отходы материала составят 46м.

Специальные задачи линейного программирования

Пример транспортной задачи (ТЗ). ТЗ задана следующей матрицей планирования:

Потребители   Поставщики	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1		-
А2
А3
Потребности					=90   =100

Составить ЭММ и получить по ней решение ТЗ.

ЭММ рассматриваемой открытой ТЗ

Введем необходимые обозначения, пусть - объем перевозок от i–го поставщика к j-му потребителю. Т.е. план перевозок (план прикрепления потребителей к поставщикам) формально представляет собой матрицу X:

С учетом введенных обозначений ЭММ открытой ТЗ по критерию «минимум суммарных транспортных затрат» имеет вид:

матрица планирования

Пример задачи о назначениях. В распоряжении некоторой компании имеется 6 торговых точек и 6 продавцов. Из прошлого опыта известно, что эффективность работы продавцов в различных торговых точках неодинакова. Коммерческий директор компании произвел оценку деятельности каждого продавца в каждой торговой точке. Результаты этой оценки представлены в таблице:

Продавец	Объемы дневных продаж по торговым точкам, у.е.
	I	II	III	IV	V	VI
A
B
C
D
E
F

Как коммерческий директор должен осуществить назначение продавцов по торговым точкам, чтобы достичь максимального объема продаж?

ЭММ рассматриваемой задачи о назначениях

Введем необходимые обозначения, пусть:

Тогда математически задачу о назначениях по критерию «максимум суммарного эффекта от назначений» можно записать следующим образом:

Пример 2.16. Предприниматель имеет 6 торговых точек по продаже продуктов питания. На следующий рабочий день он располагает 5 продавцами (один из продавцов не успел оформить медицинскую книжку). Из анализа сдачи ежедневной выручки в прошлом, предприниматель произвел оценку среднедневного объема продаж продуктов в различных торговых точках каждым из продавцов (произвел оценку элементов матрицы эффективностей назначений С). Результаты этой оценки представлены в таблице:

Продавец	Среднедневной объем продаж по торговым точкам, у.е.
I	II	III	IV	V	VI
А
Б			-
В
Г
Д

(назначение продавца Б на торговую точку III недопустимо по аллергическим противопоказаниям, т.е. в матрице С проставлен запрет – «-»).

Как предприниматель должен осуществить назначение продавцов по торговым точкам, чтобы достичь максимального объема продаж?

Математическая модель задачи. Введем необходимые обозначения, пусть

Тогда математически задачу о назначениях по критерию «максимум дневного объема продаж» можно записать в виде:

-10000 – мы ищем максимум, поэтому блокируем ячейку

числом со знаком «-»

(обеспечение торговых точек продавцами),

(все продавцы должны получить назначение),

Получение решения. При реализации этой линейной дискретной модели средствами Excel (MS Office 2010) булевость переменных в окне диалога Параметры поиска решения учитывается с помощью опции:

Рис. 2.3.5. Рабочий лист

На рис. 2.3.5 представлен рабочий лист Excel, на рис. 2.3.6 – оформленное диалоговое окно Параметры поиска решения.

Рис. 2.3.6. Окно диалога Параметры поиска решения

Оптимальный план назначений продавцов получен в результате линейной целочисленной оптимизации (команда Найти решение) и представлен в матрице Х на рис. 2.3.7. Максимальный суммарный дневной объем продаж по торговым точкам ожидается равным 297 у.е., при этом первая торговая точка не будет обеспечена продавцом.

Пример (задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов).

ЗАО «Дорстрой» осуществляет реконструкцию участка федеральной автомобильной дороги. По проекту производства работ для песчаной основы полотна дороги необходимо привезти 25000м³ песка. Имеется возможность на условиях аренды осуществить добычу песка в трех карьерах («I», «II» и «III») с учетом согласованных лимитов добычи в 11000м³, 9000м³ и 12000м³ соответственно. При транспортировке материала из карьеров «I», «II» потери (норма естественной убыли) составляют 0.02% от объема перевозимого материала, из карьера «III» - 0.015%.

Для погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250м³/смену в карьерах«I», «II» и 500м³/смену в карьере «III».

На погрузку песка по условиям договора аренды выделен для экскаваторов общий лимит 80 машино-смен с правом использовать его по усмотрению строителей.

Транспортные затраты на перевозку материалов характеризуются следующими показателями: на перевозку 1000м³ песка из карьера «I» требуется 100 автомобиле-смен, из карьера «II» - 125 автомобиле-смен, из карьера «III»- 150 автомобиле-смен.

Требуется найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

ЭММ. Сформулируем экономико-математическую модель задачи. Примем за единицу измерения количества материалов 1000м³ . Обозначим через x₁ – объем добычи материалов в карьере I, x₂ – в карьере II, х₃ – в карьере III. Таким образом, формально план перевозок представляет собой вектор .

С учетом введенных обозначений математическая модель рассматриваемой задачи по критерию «минимум суммарных транспортных затрат» имеет вид:

Условие (1) отражает потребность в материалах (с учетом потерь при транспортировке), (2) – ограничение по наличию ресурса «фонд рабочего времени экскаваторов» (мы не можем использовать больше того, что у нас в наличии). Условия (3)-(5) отражают тот факт, что добыча материалов идет в условиях ограниченности запасов материалов в соответствующих карьерах. Полученная задача – задача линейного программирования; решив её симплекс-методом, найдем оптимальный план (решение) =(x₁^*_,x_2,^* x₃^*):

x₁^* = 11,0 (11000 м³); x_2,^* = 3,995(3995м³); x₃^* = 10,009(10009 м³).

Таким образом, из карьера I следует вывезти 11000м³ каменных материалов, из карьера II - 3995м³ , из карьера III - 10009м³. Это управленческое решение будет связано с минимальными транспортными затратами

Дата добавления: 2015-07-16