Задача НЛП

Пример. Пусть производственная функция, связывающая выпуск готовой продукции данного предприятия с фондом оплаты труда рабочих х₁ и производственными фондами х₂, имеет вид:

.

Предположим, что общие затраты предприятия на заработную плату и оборудование формализуются следующим соотношением:

х₁ + х₂ = 150.

Необходимо определить затраты предприятия (на покупку оборудования и расходы на заработную плату), максимизирующие выпуск продукции при соблюдении условия о величине общих затрат предприятия.

ЭММ:

В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает производственная функция:

.

ЭММ задачи определения максимального выпуска продукции предприятия имеет вид:

найти max y = 3x₁x₂

при ограничениях x₁ + x ₂ = 150,

x₁ ≥ 0, x ₂ ≥0.

Получение решения.

Приведенная ЭММ является моделью задачи нелинейного программирования.

Получим решение средствами Поиска решения Excel (с учетом указанных выше двух особенностей нелинейной оптимизации).

Результаты реализации этой ЭММ приведены ниже:

Таким образом, рекомендуемое затраты предприятия на заработную плату и оборудование должны составлять по 75у.е. денежных средств. В этом случае ожидается максимальный выпуск продукции в объеме 16875 у.е. денежных средств.

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Случай некоррелированности ценных бумаг (модель Марковица минимального риска). В этой модели приняты следующие обозначения:

- доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг j -го вида (весь выделенный капитал принимается за 1);

m_j - средняя ожидаемая доходность j -ой ценной бумаги, (m_j называют эффективностью j -ой ценной бумаги);

v_j - дисперсия случайной доходности j -ой ценной бумаги, ( называют риском j -ой ценной бумаги).

В предположении о некоррелированности ценных бумаг (их независимости) модель Марковица имеет вид:

найти , минимизирующие риск портфеля ценных бумаг (дисперсия доходности портфеля равна сумме дисперсий доходности ЦБ)

(1)

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля m_p, т.е. (2)

и условии, что весь выделенный для инвестиций капитал в целях моделирования принимается за 1, т.е.

(3)

(4)

В модели (1)-(4) нелинейной является ЦФ.

Рассмотрим числовой пример.

Постановка задачи / /. Необходимо сформировать оптимальный портфель Марковица (минимального риска) трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10), (10,40), (40,80). Нижняя граница доходности портфеля задана равной 15.

Экономико-математическая модель. Введем необходимые обозначения, пусть x_j (j=1,2,3) – доли соответствующих ценных бумаг в портфеле. Тогда математическая модель оптимального формирования портфеля ценных бумаг (модель Марковица минимального риска) имеет вид:

4x₁ + 10x₂ + 40x₃ ³ 15,

x₁ + x₂ + x₃ = 1,

x_{j ³} 0_, j=1,2,3.

Получение решения. Приведенная ЭММ является моделью задачи нелинейного программирования.

Специальный (рабочий) лист может быть подготовлен в виде, представленном на рис.1, формулы этого листа приведены в ячейках.

Рис.1. Рабочий лист

Диалоговое окно, отвечающее приведенному выше рабочему листу, представлено на рис.2.

Рис.2. Диалоговое окно.

Реализуя приведенную модель средствами надстройки Поиск решения Excel (см. рис.3) будем иметь оптимальный портфель Марковица:

x₁ = 0,5213, x₂ = 0,2078, x₃ = 0,2709,

т.е. доли ценных бумаг оказались равными 52,13%; 20,78% и 27,09%. При этом минимальный риск – 23,79, доходность портфеля оказалась равной заданной – 15.

Рис.3. Результаты решения

Портфельные инвестиции, случай коррелированности ценных бумаг (их зависимости). Рассматривается модель Марковица минимального риска.

В этой задаче приняты следующие обозначения:

m_j - средняя ожидаемая доходность j-ой ценной бумаги, (m_j называют эффективностью j-ой ценной бумаги);

v_j = σ_jj - дисперсия случайной доходности j-ой ценной бумаги, ( называют риском j-ой ценной бумаги);

σ_ij - ковариация дохода от ценных бумаг i и j (, ) – это число, характеризующее в какой степени изменения доходов от двух видов ценных бумаг связаны друг с другом;

Δ _j - верхняя граница доли, которую ценные бумаги j могут составлять в структуре портфеля, .

Необходимо сформировать оптимальный портфель ценных бумаг минимального риска при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля m_p (портфель Марковица минимального риска).

Математическая модель. Пусть - доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг j-го вида (весь выделенный капитал принимается за 1). С учетом этих обозначений модель задачи формирования портфеля ценных бумаг с минимальной дисперсией (вариацией портфеля) имеет вид:

найти , минимизирующие дисперсию доходности портфеля ценных бумаг

при условиях:

а) обеспечивается заданное значение эффективности портфеля m_p (ограничение устанавливает нижнюю границу для ожидаемого дохода инвестиционного портфеля), т.е.

б) верхняя граница доли, которую ценные бумаги j могут составлять в структуре портфеля, составляет не более Δ _j, т.е.

в) весь выделенный для инвестиций капитал в целях моделирования принимается за 1, т.е.

Получена модель задачи нелинейного программирования (НЛП), нелинейной является целевая функция. Данная модель является моделью квадратичного программирования и для неё локальное решение обязательно является глобальным решением.

Приведенная модель для трех типов ценных бумаг имеет вид:

Пример 2.4. Предстоит принять решение о финансовых вложениях свободных денежных средств предприятия. Рассматривается три вида ценных бумаг, для которых есть данные о доходах за прошедшие 12 лет – это акции компаний АТ&T, GM и USS(US Steel). Показатели дохода от акций приводятся ниже в таблице:

Доход от акций за последние 12 лет,%

Год	АТ&T	GM	USS
	30,0	22,5	14,9
	10,3	29,0	26,0
	21,6	21,6	41,9
	-4,6	-27,2	-7,8
	-7,1	14,4	16,9
	5,6	10,7	-3,5
	3,8	32,1	13,3
	8,9	30,5	73,2
	9,0	19,5	2,1
	8,3	39,0	13,1
	3,5	-7,2	0,6
	17,6	71,5	90,8

Необходимо сформировать портфель трех ценных бумаг так, чтобы минимизировать дисперсию дохода инвестиционного портфеля при условии, что ожидаемый доход составит не менее 15%. Дополнительно должно быть учтено условие, что не более 50% общей суммы свободных средств предприятия можно вложить в акции любого одного вида.

Математическое моделирование. На основе данных приведенной выше таблицы проведем оценку доходности (эффективности) ценных бумаг (функция =СРЗНАЧ Мастера функций Excel): m₁ =0,089083; m₂ =0,213667; m₃ =0,234583. Для оценки ковариации дохода от ценных бумаг воспользуемся инструментом Ковариация в надстройке Анализ данных:

	Матрица ковариаций
	АТ&T	GM	USS
АТ&T	0,009907
GM	0,011373	0,053526
USS	0,011986	0,050808	0,086375

Введем необходимые обозначения, пусть x_j (j=1,2,3) – доли соответствующих ценных бумаг в портфеле. Тогда математическая модель рассматриваемой задачи оптимального формирования портфеля ценных бумаг имеет вид:

min f (x_1,x_2, x₃)= 0,009907x₁² + 0,053526x₂² + 0,086375x₃² + 2*0,011373x₁x₂+ 2*0,011986x₁ x₃+ 2*0,050808 x₂ x₃

0,089083x₁ + 0,213667x₂ +0,234583 x₃ ³ 0,15;

x_j ≤ 0,50_, j=1,2,3;

x₁ + x₂ + x₃ = 1;

x_{j ³} 0_, j=1,2,3.

Дата добавления: 2015-07-16