Постановка задачи. Рассматривается закрытая область расселения двух видов животных – травоядных и

Рассматривается закрытая область расселения двух видов животных – травоядных и хищников. Ввиду замкнутости области животные не покидают данной области и не прибывают извне. Предполагается, что растительности для травоядных животных достаточно и она возобновляется быстрее, чем поедается. Заданы коэффициент рождаемости травоядных a.

Обозначим через x количество травоядных (жертв). Для упрощения задачи предполагается, что количество жертв изменяется непрерывно. То же предположение распространяется и на количество хищников, хотя в реальной системе эти величины являются дискретными. Однако предположение основано на надежде на то, что результат решения от этого качественно не изменится. Тогда, скорость прироста популяции травоядных может быть выражена величиной , а уравнение изменения количества травоядных в отсутствие причин для вымирания примет вид: , что отражает пропорциональность скорости роста численности количеству травоядных x с указанным выше коэффициентом a.

Так как хищники питаются только травоядными, то они уменьшают численность последних, в результате чего возникает недостаток питания и это служит причиной вымирания хищников. Тогда количество хищников, обозначаемое y, будет убывать пропорционально их численности с коэффициентом g, задающим уровень смертности хищников.

Рассматриваемая система является типичной для системной динамики, но прежде, чем перейти построению системно-динамической модели рассмотрим подход к этой задаче, ориентированный на построение модели с помощью электронной таблицы. При этом также выявим два уровня X и Y, задающих количество жертв и хищников, соответственно. Потоки, пополняющие и исчерпывающие указанные уровни, представляют увеличение популяций за счет рождения и уменьшение за счет вымирания.

Концептуальная модель системы представлена на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Диаграмма влияния уровней системы «хищники-жертвы»

Забегая вперед, покажем вид системно-динамической модели, построенной по подобной диаграмме влияния, будет выглядеть следующим образом (рис. 9.3.):

Рис. 9.3. Системно-динамическая модель, построенная в среде STELLA

Математическая модель, построенная с помощью дифференциальных уравнений описывает уравнение для скорости изменения величины y в виде .

Взаимодействия хищников и жертв, количество которых пропорционально произведению xy, приводят к гибели травоядных, но не во всех случаях, а лишь в их части, с коэффициентом b и к обеспечению рождаемости хищников с коэффициентом d. С учётом этого, скорость прироста численности травоядных уменьшается на величину b xy, а скорость вымирания хищников уменьшается на величину d xy. В результате получается система уравнений:

, (9.2)

вид которой не отличается от системы (9.1).

Представленная математическая модель изучена в теории дифференциальных уравнений, и позволяет найти аналитические выражения для функций x(t) и у(t). Однако, помня о предположении непрерывности этих функций, которое не соответствует дискретности реальной системы, требуется проверить полученное решение для дискретного изменения количеств хищников и жертв. Это можно выполнить с помощью систем имитационного моделирования, причем в качестве таковой могут служить и универсальные электронные таблицы (например, MS Excel), как это было показано в предыдущих главах. Кроме того, с помощью имитационного моделирования можно экспериментировать с различным параметрами системы “Хищники-жертвы” и визуально отображать изменения количества хищников и травоядных с течением времени.

Рассмотрим конкретную систему “хищники-жертвы”, имеющую следующие параметры:

– начальное количество хищников (y) – 40 особей;

– начальное количество добычи (x)– 600 особей;

– коэффициент рождаемости хищников (d) – 0,2;

– коэффициент смертности хищников (g)– 0,008;

– коэффициент рождаемости жертв (a)– 0,04;

– эффективность охоты хищников (вероятность того, что при встрече с хищником жертва погибнет) (b)– 0,0002.

Дата добавления: 2015-07-15