Свободные затухающие колебания

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

, (1)

где x –	колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс;
d –	коэффициент затухания;
w0 –	циклическая частота собственных незатухающих колебаний (собственная частота колебательной системы).

Решение уравнения (1) в случае малого затухания (d² << ) имеет вид

,

где –	амплитуда затухающих колебаний;
A 0 –	начальная амплитуда;
–	циклическая частота затухающих колебаний;
j0 –	начальная фаза колебаний.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя следующими друг за другом максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда период затухающих колебаний вычисляют по формуле

.

Если A (t) и A (t+T)– амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

– логарифмическим декрементом затухания.

Величина N_e – это число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

2.1. Теоретическое обоснование
методики определения коэффициентатрения

Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на длинной нити и лежащий на наклонной плоскости.

а б

Рис. 1

Если шар отвести из положения равновесия (ось OO ₁) на угол a, а затем отпустить, то возникнут колебания маятника. При этом шар будет кататься по наклонной плоскости около положения равновесия (рис. 1, а). Между шаром и наклонной плоскостью будет действовать сила трения качения. В результате колебания маятника будут постепенно затухать, то есть будет наблюдаться уменьшение во времени амплитуды колебаний.

Можно предположить, что по величине затухания колебаний могут быть определены сила трения и коэффициент трения качения.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с коэффициентом трения качения m.При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия равны нулю. Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.

Пусть А – точка поворота (рис. 1, а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью OO ₁.Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке N, а угол отклонения был бы равен a. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В. Это и будет новая точка поворота. В этой точке угол нити с осью OO ₁будет равен . За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из точки А в точку В.

Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки A и B на ось OO ₁ (см. рис. 1, а). Это будут точки A ₁ и B ₁ соответственно. Очевидно, что длина отрезка А ₁ В ₁

,

где – длина нити.

Так как ось OO ₁ наклонена под углом к вертикали, проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты (рис. 1, б):

. (2)

При этом изменение потенциальной энергии маятника при переходе его из положения A в положение В равно:

, (3)

где m – масса шара;

g – ускорение свободного падения.

Вычислим работу силы трения. Сила трения определяется по формуле

, (4)

где m –	коэффициент трения;
–	сила нормальной реакции плоскости.

Путь , пройденный шаром за половину периода колебаний маятника, равен длине дуги AB:

.

Работа силы трения на пути :

. (5)

Но , поэтому с учетом уравнений (2), (3), (4) получается

,

откуда

. (6)

Выражение (6) существенно упрощается с учетом того, что угол очень мал (порядка 10^-2 радиан). Итак, . Но . Поэтому . Таким образом, формула (6) приобретает вид:

,

откуда

. (7)

Из формулы (7) видно, что потеря угла за половину периода определяется коэффициентом трения m и углом a. Однако можно найти такие условия, при которых от угла a не зависит. Учтем, что коэффициент трения качения мал (порядка 10^-3). Если рассматривать достаточно большие амплитуды колебаний маятника a, такие, при которых , то слагаемым в знаменателе формулы (7) можно пренебречь и тогда

.

С другой стороны, пусть угол a будет малым настолько, чтобы можно было считать, что . Тогда потеря угла за половину периода колебаний будет определяться формулой

. (8)

Формула (8) справедлива, если

. (9)

Из-за того, что m имеет порядок 10^-2, неравенству (9) удовлетворяют углы a порядка 10^-2–10^-1 радиан.

Итак, за время одного полного колебания потеря угла составит

,

а за n колебаний – .

Отсюда

. (10)

Формула (10) дает удобный способ определения коэффициента трения качения. Необходимо измерить уменьшение угла Da _n за
10–15 ко­лебаний, а затем по формуле (10) вычислить m.

В формуле (10) величина Da выражена в радианах. Чтобы использовать значения Da в градусах, формулу (10) необходимо видоизменить:

. (11)

Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции I_c относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 2).

Рис. 2

К центру масс C приложена сила , направленная вдоль оси ox и являющаяся функцией координаты x. Со стороны поверхности на тело действует сила трения F _ТР. Пусть момент силы трения относительно оси, проходящей через центр C шара, равен M _ТР. Уравнения движения шара в этом случае имеют вид

; (12)

, (13)

где – скорость центpa масс;

w – угловая скорость.

В уравнениях (12) и (13) четыре неизвестных: , w, F _ТР, M _ТР. В общем случае задача не определена.

Допустим, что:

1) тело катится без проскальзывания. Тогда

, (14)

где R – радиус шара;

2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т.е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения и силой трения имеется связь:

. (15)

С учетом формул (14) и (15) из уравнений (12) и (13) получаем выражение для силы трения:

. (16)

Выражение (16) не содержит коэффициента трения m, который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материалов, из которых изготовлены шар и плоскость. Этот результат – прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (14) и (15). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (12) на , а уравнение (13) — на w. Учитывая, что

и

и складывая выражения (12) и (13), получаем

, (17)

где W (x) – потенциальная энергия шара в поле силы F (x). Следует учесть, что

. (18)

Если принять во внимание формулы (14) и (15), то правая часть равенства (17) обращается в нуль. В левой части равенства (17) стоит производная по времени от полной энергии системы, которая состоит из кинетической энергии поступательного движения шара , кинетической энергии вращательного движения и потенциальной энергии W (х). Это значит, что полная энергия системы - постоянная величина, т.е. сила трения не совершает работы. Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это свидетельствует о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движении шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (14) и (15) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.

Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель – определить по изменению энергии маятника коэффициент трения. Поэтому будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (15). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим, что имеет место слабое проскальзывание.

Пусть скорость точек касания (на рис. 2 точка О) шара (скорость проскальзывания)

. (19)

Будем считать, что

. (20)

Тогда, подставляя в уравнение (17) и учитывая условия (15) и (20), приходим к уравнению:

, (21)

из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, т.к. тело скользит по поверхности со скоростью и, нанего действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.

Выполняя в уравнении (21) дифференцирование и учитывая соотношение (18), получаем уравнение движения центра масс шара:

. (22)

Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой

, (23)

под действием внешней силы F и силы трения качения

.

Причем, F _ТР – обычная сила трения скольжения. Следовательно, при качении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. На практике часто наблюдается случай, когда сила трения качения не зависит от скорости тела. Видимо, в этом случае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:

,

где e – коэффициент пропорциональности. Обычно . Сила трения скольжения описывается формулой (4). Тогда

,

где m^* – коэффициент трения качения. Естественно, независимость силы трения качения от скорости тела может быть проверена только опытным путем. Если это так, то уравнение движения шара (22) имеет вид:

; (24)

здесь F _ТР.КАЧ – постоянная величина.

Точно такое же уравнение можно получить, если оставить связь (14), но вместо условия (15) использовать формулу связи между моментом силы трения и силой трения:

, (25)

где l < 1 — некоторый постоянный коэффициент. Связь (25) можно интерпретировать так: тело или плоскость несколько деформируется, поэтому плечо силы трения l R немного меньше, чем в случае абсолютно жесткого контакта.

Обратимся теперь конкретно к нашей задаче о движении наклонного маятника. В общем случае вопрос о силе трения качения выходит за рамки чисто механических моделей и требует учета вида деформации поверхности, а также изучения характера взаимодействия в зоне контакта тела и поверхности.

Рассмотрим силы, действующие на шар (рис. 3). Силу тяжести mg разложим на две составляющие силы, направленные перпендикулярно и параллельно плоскости: , . Co стороны наклонной плоскости на шар действует сила реакции опоры N так, что сумма всех сил в направлении, перпендикулярном плоскости, равна нулю.

Рис. 3

Силу F _II(рис. 4) разложим также на две составляющие: направленную вдоль нити и перпендикулярную ей: и . Таким образом, возвращающая сила в скалярной форме равна

, (26)

где , х — длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия (знак минус взят потому, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную сме­щению). На шар действует сила трения:

, (27)

направление которой зависит от направления скорости про­скаль­зы­вания u.

Рис. 4

Если шар движется справа налево (как на рис. 4), то

, и F _ТР>0

при u >0 и F < 0. Подставим выражения (26) и (27) в формулу (22), получим уравнение движения маятника:

. (28)

При этом знак «+» берется тогда, когда шар движется справа налево, знак «—» соответствует движению слева направо. Таким образом, уравнение движения (28) — это фактически два уравнения, описывающих движение шара в противоположных направлениях. Получение решения уравнения (28) сопряжено с определенными трудностями. Именно поэтому был выбран более наглядный энергетический подход для вывода формулы (11).

Однако уравнение движения дает еще информацию о периоде колебаний и, кроме того, раскрывает физический смысл неравенств и (9).

Пусть вначале мы отклонили маятник на некоторый угол a вправо и без толчка отпустили его. Шар покатится, если или, как следует из уравнения (28), при условии, что

. (29)

Обозначим . Область углов является областью застоя. В этой области сила трения больше возвращающей силы. Таким образом, физический смысл неравенства очевиден: углы a должны быть много больше угла застоя a₀, чтобы колебаний было достаточное количество и маятник не остался сразу в зоне застоя.

Будем рассматривать малые колебания. Тогда , но одновременно . В этом случае уравнение (28) можно записать так:

,

где — частота колебаний. Для периода колебаний получаем следующее выражение:

,

где .

Так как момент инерции шара массой m равен , где R – радиус шара, то , поэтому

. (30)

Эту зависимость нетрудно проверить экспериментально и убедиться в справедливости принятой модели трения качения.

Дата добавления: 2015-07-15