Математическая обработка результатов измерений. Прямые измерения.

Итак, при оценке достоверности экспериментальных данных необходимо быть уверенным в том, что систематические ошибки устранены, после чего задача сводится к учету влияния случай­ных ошибок на результаты измерений. Решение этой задачи дает общая теория случайных ошибок.

Пусть в результате измерения исправными приборами неизмен­ной величины "X" получено n разных значений измеряемой вели­чины:

При обработке результата надо решить два вопроса:,

1. Как сконструировать из полученных значений измерений наибо­лее вероятное значение измеряемой величины "X"?

2. Чему равна ожидаемая ошибка измерений?

Для ответа на эти вопросы надо обратиться к теории ошибок. Покажем упрощенно на конкретном примере логику рассуждения приведшую к принятым в настоящее время правилам обработки резуль­татов n прямых измерений величины X. Пусть в результате n=20 измерений этой величины получены следующие значения (в порядке их возрастания); 4,5 6,1 9,4 10,1 11,0 12,5 14,7 15,0 15,5 16,1 18,9 19,0 19,7 20,4 21,1 22,4 24,7 26,8 27,2 33,7. При измерениях не допускались грубые промахи и сис­тематические ошибки, т.е. разброс полученных значений вызван только действием случайных ошибок, обусловленных множеством причин.

Установим закон распределения этих ошибок. Для этого пост­роим по нашим данным гистограмму относительных частот. На оси х разместим интервал, в который входят все полученные значения от 4,5 до 33,7 (интервал от 0 до 35). Разделим его на произ­вольное количество равных интервалов, в нашем случае удобно разделить на 7 интервалов длиной h =5. Теперь определим, сколько значений попадает в каждый интервал и составим таблицу 1.

В третьем столбце относительные частоты, они и дадут вы­соту прямоугольников, построенных на гистограмме для каждого интервала (рис. 1).

Таблица 1.

Интервалы	Количество попавших значений	Относительная частота
0¸5
5¸10
10¸15
15¸20
20¸25
25¸30
30¸35

Рис. 1. Гистограмма относительных частот.

Теперь снова обратимся к теории ошибок. В ней строго дока­зывается, что при увеличений числа измерений n®¥ и достаточно большом числе случайных- помеховых факторов построенная таким же образом гистограмма (при n®¥ h можно устремить к 0, т.е. длину интервала выбрать бесконечно малой) даст функцио­нальную зависимость относительной частоты от величины ошибки» Она называется кривой распределения ошибок Гаусса и для нашего случая примет следующий вид (рис. 2).

Рис, 2 Распределение Гаусса

Относительная частота при n®¥ приобретает смысл плотности вероятности f (х). С помощью функции f (х) можно определить вероятность того, что истинное значение величины Х находится в пределах a - D х <Х< a - D х. Эта вероятность равна:

Графически данный интеграл равен площади заштрихованной фигуры. Например, если D х = s, то вероятность Р=0,683 (68,3%), если D х = 2 s, то Р=0,954 (95.4%), если D х = 3 s, то Р = 0,997 (99,7%). Величина dx есть абсолютная ошибка измере­ния X. Как видим, чем она больше, тем меньше вероятность ее со­вершить. Величина a имеет смысл достоверной и наиболее веро­ятной оценки истинного значения измеряемой величины Х и при n®¥ равна среднему значению:

(1)

Среднеквадратичное отклонение при n ®¥ может быть вычис­лено по формуле

(2)

где - погрешность отдельного измерения. Интервал Х = (т.е. называется дове­рительным интервалом).

Из всего предыдущего можно сделать вывод: если число изме­рений величины. Х n ®¥, т.е. на практике очень, велико (n >100), то из величин и s, рассчитанным по формулам 1 и 2, можно составить доверительный интервал, в который с необходимой, заранее выбранной вероятностью попадет истинное значение X. Например, если задаем вероятность Р = 0,997 (или 99,7%), то искомый доверительный интервал имеет вид:

Однако в лабораторном практикуме приходится оценивать ве­личину Х по ограниченному числу измерений n = 3 ¸ 10, поэтому распределение ошибок в этом случае не совпадает с функцией Гаусса. Вид этого распределения был установлен английским ста­тистиком Стьюдентом и носит его имя. График распределения Стьюдента напоминает кривую Гаусса, однако аналитическое его выражение достаточно сложно, поэтому для определения доверительного интервала используют рассчитанные значения коэффици­ентов Стыодента (табл. 2).

Таблица 2.

a	Р
n	0,9	0,95	0,98	0,99
	2,9	4,3	7,0	9,9
	2,4	3,2	4,5	5,8
	2,1	2,8	3,7	4,6
	2,0	2,6	3,4	4,0
	1,9	2,4	3,1	3.7
	1,8	2,3	2,9	3,4
	1,8	2,3	2,8	3,3
	1,8	2,3	2,7	3,2

Из таблицы видно, что в лабораторной практике нет необхо­димости проводить число измерений больше шести, так как при n > 6 коэффициент a мало изменяется и точность результата от этого не увеличивается.

Для получения доверительного интервала вычисляют и s по формулам 1 и 2, а абсолютную ошибку D x определяют по фор­муле:

Dx= s × a, (3)

где a - коэффициент Стьюдента, взятый из таблицы для за­данной вероятности Р и числа измерений n.

Доверительный интервал в этом случае записывается так же как и при большом числе измерений: Х = .

В конце необходимо Dх сравнить с приборной погрешностью прибора, которым производились измерения.

Приборная погрешность определяется:

Dх_приб.=Dх_отсч.+Dх_пасп.

где Dх_отсч.- погрешность отсчета, берется равной половине цены деления шкалы;

Dх_пасп - погрешность прибора, даваемая в его паспортных данных заводом-изготовителем.

Если Dх_приб >D x, тогда в ответе записываем доверительный интер­вал в виде: Х = ± Dх_приб.

Если Dх_приб < D x, то ответ записывают так: Х = .

Иными словами, в качестве абсолютной погрешности выбирают всегда наибольшую из этих погрешностей.

Дата добавления: 2015-07-15