III. Обработка результатов измерений

1. По результатам работы необходимо рассчитать периоды для различных амплитуд, а затем рассчитать погрешность ΔТ_эксп.

Убедиться, что в пределах точности измерений период не зависит от амплитуды колебаний.

2. По результатам статических измерений удлинения пружины под действием различных грузов оценивается коэффициент упругости пружины.

3. По результатам измерений, приведенных в таблице 3, рассчитать периоды Т_эксп и Т_теор для различных масс и смещений (амплитуд). Рассчитать погрешности. Проверить совпадение периодов в пределах погрешностей измерений.

Покажем на примере, как проводить обработку результатов измерений в пакете Microsoft Excel.

Пусть для примера в результате измерений при изучении изохронности получена таблица 1.

Таблица 1

№	х, см	t,с	Тэксп, с	Тср
1.	1	6,80			10
6,83
6,88
6,84
6,90
2.	2	6,89
6,97
6,90
6,93
6,89
3.	3	6,99
6,91
7,07
7,08
6,92
4.	4	7,01
7,14
6,97
6,94
6,95
5.	5	6,99
6,90
7,09
6,95
6,83

Для вычислений поместим представленную таблицу на лист программы Microsoft Excel. Для чего выделим её и нажмём клавишу «Копировать» в меню программы Excel (см.рис.6),

Рис.6.

при этом таблица будет занесена в буферную память, а затем откроем программу Excel и на открывшейся странице активизируем ячейку А1 для чего щёлкнем на ней левой кнопкой мыши, после этого нажмём клавишу меню «Вставить» получим следующее выражение в программе Excel см. рис.7.

Рис.7.

В таблице приведены времена 10 колебаний маятника, для расчёта периода колебаний разделим измеренное время t на число колебаний N_k =10. Указанную формулу =C2/F$2 введём в ячейку D2 (Знак $ показывает, что при распространении формулы фиксируется ячейка F2). Для этого активизируем ячейку D2 – подведём к ней курсор мыши и нажмём левую кнопку мыши («кликнем» по ней левой кнопкой мыши). См.рис.8.

Рис.8.

Затем в строке формул наберём нашу формулу и нажмём кнопку Enter (см.рис.9.)

Рис.9.

После этого распространим формулу на ячейки D2-D26 – для чего выделим ячейку D2 а затем подведём курсор к правому нижнему углу этой ячейки отметки курсора превратиться в крестик при этом надо нажать левую кнопку мыши и не отпуская её протащить отметку курсора до ячейки D26 при этом формула будет введена во все ячейку. Знак $ вводиться для того, чтобы при распространении формулы указанная ячейка не менялась. Получим результат показанный на рис.10.

Рис.10.

Далее рассчитаем средний период колебаний для этого активизируем ячейку E2 так же как мы делали ранее и вставим в неё стандартную статистическую функцию вычисления среднего. Для этого войдём вменю формула (или вставка на старых версиях Excel) нажмем пункт функция выберем статистическую функцию и вставим функцию СРЗНАЧ (см.рис.11) нажав Enter

Рис.11

в открывшемся меню укажем диапазон ячеек по которым проводится усреднение и нажмём Enter (см.рис.12 и 13).

Рис.12.

Рис.13.

А затем распространим формулу на весь столбец Е, также как мы делали ранее (см.рис.14).

Рис.14.

Рассчитаем отклонение периода от среднего значения и занесём его в ячейки G2-G26, затем найдём наибольшее значение в ячейке G27 и примем его за ошибку. Для этого введём формулу ABS(D2-$E$2) в ячейки G2-G26 (получим рис.15.), а в ячейку G27 формулу МАКS(G2÷G26) (см.рис.16).

Рис.15.

Рис.16.

Далее построим график зависимости Т от х, если колебания изохронны то он должен идти параллельно оси х.

Для построения графика выделим все ячейки с данными в столбцах В и Е, это можно сделать выделяя ячейки стандартным образом но при этом надо удерживать нажатой кнопку Ctrl и внесём их на новый лист Excel (см.рис.17).

Рис.17.

Далее выделяем оба столбца ячеек с данными и в меню вставка выбираю точечную функцию см.рис.18.

Рис.18.

Получаю следующий график рис.18. Но нас в таком виде он не устраивает, поэтому уберём легенду, для чего кликнем на ней правой кнопкой мыши (для её выделения), а затем нажмём кнопку Del см.рис.19.

Рис.19.

Изменим параметры вертикальной оси, для чего кликнем на цифрах вертикальной оси, а затем нажмём правую кнопку мыши получим следующее меню и выбрав пункт меню «формат оси» нажмём на нём левую кнопку мыши (см.рис.20).

Рис.20.

В выпавшей вкладке в параметрах оси в пункте минимальное значение перейдём в положение фиксированное кликнув на кружке мышью и в ручную укажем с какого значения должна начинаться ось у (см.рис.21).

Рис.21.

Получим следующий график см.рис.22.

Рис.22.

Далее проведём через точки графика прямую, используя метод наименьших квадратов. Для этого кликнем на точках графика мышью, а затем нажмём правую кнопку мыши, при этом выпадет меню (см.рис.23)

Рис.23.

Выберем пункт добавить линию тренда, при этом выпадет меню (см.рис.24), отметим в меню пункты «линейная» интерполяция и «показывать уравнение на диаграмме», затем нажмем клавишу «Закрыть».

Рис.24.

Получим прямую и её аналитическое выражение см.рис.25.

Рис.25

Далее для вставки надписей на осях перейдём в меню макет выберем пункт названия осей и следуя указаниям мастера введём нужное название вертикальной оси (см.рис.26.), аналогично введём название горизонтальной оси.

Рис.26.

Окончательно получим следующий график (см.рис.27).

Рис.27.

Если на график нанести ошибку измерения времени из ячейки G27 таблицы 1, то видно что с учётом ошибки в указанном диапазоне изменения амплитуд период можно считать постоянным (см.рис.28).

Рис.28.

Перейдем к анализу коэффициента упругости пружины. Пусть мы получили в результате измерений таблицу 2, но при этом необходимо измерить значение длины х₀ нерастянутой пружины оно составляет 6,5 см.

Таблица 2

m, кг	x1, м	x2, м	x3, м	x4, м	x5, м
0,1695	0,145	0,146	0,145	0,147	0,144
0,2215	0,167	0,166	0,168	0,168	0,166
0,2735	0,194	0,195	0,195	0,196	0,193

Введём её в Excel и рассчитаем средние значения смещений х_ср в последней графе, вводя функцию усреднения в ячейку G2 и усредняя значения по ячейкам В2-F2 (см.рис.29).

В результате получим среднее в ячейке G2, а затем распространим формулу на ячейки G3-G4 (см.рис.30).

Рис.29.

Рис.30.

Далее из каждого полученного значения х_ср вычтем длину нерастянутой пружины х₀, введя формулу = G2-11 в ячейку H2 и распространим формулу в ячейки Н3-Н4.

Рис.31.

Далее занесём в ячейки I2-I4 значения силы тяжести mg по формуле =А2*9,81 и распространим формулу на ячейки I3-I4 (см.рис.32).

Рис.32.

Затем скопируем ячейки Н2-Н4 и I2-I4, перенесём их на новый лист и построим график зависимости силы тяжести от растяжения пружины. Из графика видно, что К_ср=20,63 н/м.

Рис.33

Для расчёта ошибки учтём

Ошибка определения массы и ускорения свободного падения равна

Таким образом в результат основной вклад будет давать ошибка в определении длины.

При расчёте наибольшего К строится зависимость mg от (x_ср-Δx)

Рис.34

При расчёте наименьшего К строится зависимость mg от (x_ср+Δx)

Рис.35

Таким образом получаем, что К =0,63±0,04.

Далее рассмотрим пример расчёта периода колебаний пружинного маятника для разных длин и масс маятника. Пусть по данным измерений нами получены результаты, представленные в таблице3.

Таблица3

№	m, г	x, см	t, с	Тэксп = , с	Тэксп, с	, c
1.	169,5		5,75
5,64
5,62
2.			6,63
6,65
6,61
3.			7,29
7,34
7,23

Перенесём её в Excel (см.рис.36)

Рис.36.

Далее переведем в таблице все величины в систему СИ

Рис.37

Далее рассчитаем период одного колебания, т.к. в таблицу мы занесли время 10 колебаний. Дл этого введём в ячейку Е3 формулу = D3/10 и распространим эту формулу на все ячейки Е4-Е11 (см.рис.38).

Рис.38.

Затем занесём в ячейку F3 среднее значение периода по значениям в ячейках Е3-Е5, а затем размножим формулу на ячейки всего столбца F (см.рис.39).

Рис.39.

Далее зная m и К рассчитаем период в последнем столбце таблицы по формуле = 2*3,14*КОРЕНЬ(В2/20,63) и распространим её на ячейки столбца G (см.рис.40)

Рис.40.

Далее оценим ошибки и посмотрим совпадут ли в пределах ошибки вычисленный и измеренный периоды колебаний.

Для этого оценим ошибку измерений по формуле Δ=max|T_i-T_ср| для этого введём последнюю формулу в ячейку Н3, а затем размножим её на столбец H (см.рис.41). Далее найдём наибольшее Δ и примем его за ошибку измерений.

Рис.41.

Построим графики Ттеор из графы по таблице 3 и из графы Тэксп построим измеренные значения (по методике изложенной ранее см.рис.41) и нанесём на график планки погрешностей.

Рис.41.

Далее подведём курсор к маркерам линий Т_экспер и нажмем левую кнопку мыши, маркёры активизируются. После этого в меню «макет» выберем вкладку анализ, а в нём вкладку планки погрешностей и далее дополнительные параметры планок погрешностей (см.рис.42)

Рис.42

Откроется окно изображённое на рис.43

в открывшемся окне необходимо поставить отметку мышью в поле величина погрешности на переключателе «пользовательская» для чего нажать на левую клавишу мыши, когда отметка курсора мыши попадёт на переключатель при этом откроется меню см. рис.44. В него занесём рассчитанное значение ошибки измерений ±0,008

Рис.44

Выполнив все операции получим рис.45 на котором присутствуют горизонтальные планки погрешностей, которые мы не вводили.

Рис.45

Для того чтобы убрать их активизируем их кнопкой мыши и нажмём кнопку клавиатуры DEL при этом горизонтальные планки погрешностей пропадут. Получим окончательные графики (см.рис.46)

Рис.46.

Контрольные вопросы

1. Каким законом описывается растяжение упругого маятника?

2. Вывести уравнения колебаний груза на горизонтальной и вертикальной пружинной подвеске.

3. Почему периоды колебаний таких маятников одинаковы?

4. Почему период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды?

5. Как будут происходить колебания, если грузик опустить в воду?

6. Чему равна средняя за период кинетическая энергия колеблющегося маятника и как она связана со средней за период потенциальной энергией?

Литература:

Пейн Г, Физика колебаний и волн, М., Мир, 1979 г.

Дата добавления: 2015-07-15