Компьютерная технология предварительного анализа, аналитического выравнивания и прогнозирования уровней временных рядов

При анализе дальнейшего развития экономических явлений, планировании производства и бизнес-процессов невозможно обойтись без прогноза, т.е. предвидения возможных финансовых, технико-экономических и других ситуаций, связанных с реализацией проектов. В данной главе рассматриваются вопросы статистической обработки временных рядов и метод прогнозирования уровней динамических рядов на основе моделей кривых роста.

Динамические процессы экономических явлений, как правило, могут быть представлены в виде ряда систематизированных в хронологическом порядке последовательных значений того или иного показателя, отражающего ход развития анализируемого явления.

Совокупность наблюдений одного показателя, упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), принято называть динамическим рядом или рядом динамики. Динамические ряды, у которых в качестве признака упорядочения выступает время, именуются временными. Поскольку в экономических процессах, как правило, признаком упорядочения последовательных наблюдений является время, все три приведенных термина используются как равнозначные.

Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда. Временные ряды делятся на моментные и интервальные. Моментными называются такие ряды, уровни которых характеризуют величину исследуемого явления в определенные даты, моменты времени. Интервальными называются такие ряды, уровни которых характеризуют величину исследуемого явления за определенные промежутки, интервалы, периоды времени.

После сбора информации об изменении во времени какого-либо процесса или явления у исследователя имеются данные в виде ряда

y1,y2,y3… yt…yn

где yt – уровень временного рада, или числовое значение, характеризующее процесс или явление в данный момент (интервал) времени t;

n – длина временного ряда.

Интервал между двумя последовательными моментами времени называют тактом (шагом).

Временной ряд обычно обозначают как Y(t) или уt, где 1, 2,..., n.

При статистических методах исследования временных рядов предполагается возможность их представления посредством четырех компонент, отражающих закономерные и случайные составляющие развития явления. В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель

(6.1)

(6.2)

где –долговременная (систематическая, основная) тенденция (тренд) развития уровней ряда, задаваемая обычно посредством определенной неслучайной функции с аргументом t (время). Эту функцию принято называть функцией тренда или сокращенно трендом;

S(t) – сезонная компонента, связанная с внутригодовыми колебаниями уровней ряда. При изучении данных по годам и более длительным периодам данная компонента не используется. Для сезонности характерны регулярные изменения, вызванные влиянием на анализируемое явление внешних по отношению к нему факторов, действующих с известной периодичностью. Например, внешним фактором при изучении сельскохозяйственного производства могут выступать времена года;

Z(t) – циклическая (периодическая) компонента, не связанная с сезонностью, – неслучайная функция, описывающая периодические колебания долговременного характера;

– остаточная компонента, представляющая собой случайную составляющую; отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и может иметь сложную структуру отклонений, описываемых моделями авторегрессии и скользящего среднего.

Идея прогнозирования экономических явлений и процессов по статистическим моделям, в том числе и по временным рядам, основана на предположении, что закономерности развития, характерные для прошлого и настоящего, будут сохраняться и в прогнозируемом будущем. Такой прогноз базируется на экстраполяции. Если экстраполяция развития явления проводится на будущий период, то прогноз называется перспективным, а в случае экстраполяции в прошлое –ретроспективным.

Построение моделей экстраполяционного прогноза по временным рядам осуществляется поэтапно (рис. 6.1).

Анализ временных рядов начинается с оценок исходных данных. Основными требованиями к исходным данным (уровням ряда) являются их сопоставимость, однородность, устойчивость и необходимая достаточность.

Для достижения сопоставимости данных при формировании динамических радов к их уровням применяется одинаковый подход относительно единицы измерения, шага (такта) наблюдения, интервала времени, методики расчета показателя, отнесения к неизменной совокупности.

Рис. 6.1. Обобщенная схема этапов построения моделей прогноза по временным рядам

При оценке однородности уровней рада проверяется наличие сильных изломов тенденций и аномальных (резко выделяющихся) наблюдений. Поскольку наличие аномальных наблюдений существенно искажает результаты моделирования, в статистических пакетах предусмотрено исключение таких данных – их заменяют расчетными значениями.

Устойчивость заключается в преобладании закономерности над случайностью в изменении уровней динамического ряда. Как правило, при предварительном анализе данных в статистических пакетах предусмотрен вывод графика изменения уровней рада по времени. На этих графиках можно проследить визуально закономерность изменения уровней устойчивых временных радов. Если ряд неустойчивый, то изменения последовательных уровней ряда будут на графике хаотичными, что свидетельствует об отсутствии закономерностей в формировании уровней таких рядов.

Требование достаточности данных обусловлено тем, что для выявления закономерности в изменении уровней ряда необходимо иметь минимально допустимый объем наблюдений. Считается, что количество наблюдений рада должно быть в 7–10 раз больше числа параметров модели, не считая свободного члена уравнения временного рада.

Наличие тенденции (тренда) в анализируемом временном ряду видно из его графика. Однако для статистической оценки наличия тренда в пакетах программ применяются методы Фостера–Стьюарта и сравнения средних.

Реализация метода сравнения средних выполняется за четыре этапа:

Временной ряд длиной n делится на две примерно равные части: n1 и n2, где n1 – количество уровней в первой части, а n2 – во второй части, т.е. и = n1 + n2.

Для каждой из этих частей вычисляются средние и дисперсии (σ21, σ22):

Проверяется равенство дисперсий обеих частей ряда с помощью f-критерия. Для этого определяется расчетное значение данного критерия (Fp):

Полученное фактическое значение критерия (Fp) сравнивается с его табличным значением (FT) с заданным уровнем значимости α (или р) и при числе степеней свободы v1 = 2 и

v2 = n1 + n2 - 3. Если FP < FT(p; v1; v2), то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и осуществляется переход к этапу 4. Если Fp ≥ FT, гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется. Это означает, что данный метод на вопрос о наличии тренда ответа не дает.

Проверяется гипотеза об отсутствии тренда на основе t -критерия Стьюдента, расчетное значение (tp) которого определяется по формуле

где σ – среднеквадратическое отклонение разности средних. Значение о определяется следующим образом:

Значение σ определяется следующим образом:

Расчетное значение t-критерия (tр) сопоставляется с его табличным значением (tт) с заданным уровнем значимости и при числе степеней свободы v = n1 + n2 - 2. Если tр < tT (p; v), то гипотеза принимается, т.е. тренд отсутствует. В противном случае, при tp ≥ tT (p; v), считается, что тренд есть.

Недостатком данного метода является то, что он применим только для рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера–Стьюарта более универсален и дает более надежные результаты, чем метод сравнения средних. Для проверки гипотезы об отсутствии тренда методом Фостера – Стьюарта используются следующие вспомогательные функции:

Далее проверяется гипотеза о том, что L = 0. Для этого определяется расчетное значение t-критерия (tp):

Расчетное значение t-критерия (tр) сопоставляется с его табличным значением (tт) для заданного уровня значимости и n - 1 степеней свободы.

Если tр > tT(p; n - 1), то гипотеза об отсутствии тенденции (тренда) отклоняется. В противном случае гипотеза об отсутствии тренда подтверждается.

Сглаживанием временного ряда называется процедура выделения неслучайной систематической составляющей элементов этого ряда. Для сглаживания рядов используются аналитические методы и методы типа скользящего среднего.

На стадии предварительного анализа данных процедура сглаживания типа скользящего среднего используется в отдельных случаях для приведения уровней наблюдений к соответствующему сглаженному виду, необходимому при выявлении аномальных наблюдений и построении некоторых математических моделей. В основном применяются методы скользящего среднего и взвешенного скользящего среднего.

Статистические характеристики временного ряда. При анализе временных рядов в пакетах программ важное место отводится вычислению их статистических характеристик. Здесь прежде всего определяются изменения, происходящие в явлениях или процессах, а также направление, скорость и интенсивность этих изменений. Для характеристики изменений ряда используются следующие показатели динамики.

Абсолютный прирост показывает размер увеличения (уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:

где . – абсолютный прирост;

yi - i-й уровень ряда (i=1, 2,..., n);

k - Начальный уровень, который выбирается в зависимости от целей исследования

(k= 1, 2,..., n - 1);

уi-k - уровень, отстоящий от i-го уровня на k единиц времени (год, полугодие, квартал, месяц и т.п.). Абсолютный прирост может быть базисным и цепным. Формула (6.12) служит для определения цепного абсолютного прироста. Частным случаем (при k = 1) является

т.е. абсолютный прирост между текущими и предыдущими уровнями временного ряда.

Базисный абсолютный прирост определяется как

где уk – базисный (при k = 1 первый) уровень ряда.

Получая абсолютный прирост последовательно для всех уровней ряда, можно сформировать новый динамический ряд, состоящий из n - k элементов.

На базе этого ряда аналогично можно получить ряды абсолютных приростов второго, третьего,..., m-то порядков:

Длина этого ряда будет определяться по формуле

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше (или меньше) уровня ряда, отстоящего от данного на к единиц времени:

Если Kp(i) > 1, то уровень повышается; если Kp(i) < 1, уровень понижается; при Kp(i) = 1 он не изменяется. Коэффициент роста также может быть базисным и цепным. Формула (6.17) служит для определения цепного коэффициента роста. Частным случаем (при k = 1) является

т.е. коэффициент роста, выражающий отношение смежных уровней. Базисный коэффициент роста определяется по формуле

Коэффициент прироста K(np)i показывает абсолютное изменение коэффициента роста. Он вычисляется по формуле

Коэффициент прироста аналогично коэффициенту роста может быть базисным и цепным.

На практике чаще применяются не коэффициенты роста и прироста, а темпы роста и прироста, которые рассчитываются для (6.17) и (6.20) по формулам:

На основе формул (6.18) и (6.19) можно также определить темпы роста, если каждую из них умножить на 100%.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень, например, одного года отличается от уровня другого года. Он выражает относительную величину прироста в процентах. Заметим, что снижение темпа прироста в какой-либо период не обязательно означает уменьшение абсолютного прироста за этот же период, т.е. замедление темпа прироста часто не сопровождается уменьшением абсолютных приростов.

Средние величины временного ряда. Как известно, средние величины занимают значительное место в статистике, так как они являются обобщенными характеристиками развития явления или процесса. Для временного ряда обычно рассчитывают несколько средних характеристик.

Средняя хронологическая, или средний уровень, ряда показывает, какова средняя величина уровня, характерная для всего анализируемого периода.

Средняя хронологическая вычисляется по-разному для интервальных и моментных временных рядов.

Для интервальных рядов она определяется по формуле

где – средняя арифметическая величина уровней ряда;

yi - i-e значение временного ряда;

n - количество элементов во временном ряду.

Когда интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, среднее хронологическое значение вычисляется по формуле взвешенной арифметической, где роль весов играет продолжительность периода (год, квартал, месяц и т.п.), в течение которого уровень постоянен.

Для моментных рядов с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая определяется по формуле

Средняя хронологическая моментного ряда с разноотстоящими уровнями вычисляется по формуле

где ti – период времени, отделяющий i-й уровень ряда от (i + 1)-го уровня;

n – число уровней ряда.

Средний абсолютный прирост за весь период наблюдения характеризует скорость развития явления и вычисляется по формуле

Средний темп роста определяет среднюю скорость изменения анализируемого явления или процесса и вычисляется по формуле средней геометрической:

где T(р)1,..., Т(р)n – средние темпы роста за отдельные интервалы времени.

Средний темп прироста соответственно равен

Средние характеристики (6.26)–(6.28) имеют практический смысл только тогда, когда временной ряд изменяется более или менее монотонно, так как в них участвуют только крайние уровни временного ряда. Например, если уровни временного ряда вначале монотонно возрастали, а затем монотонно убывали, то значения этих характеристик неверно будут отражать реальное явление или процесс. В этом случае используются сглаженные трендом уровни и .

Дата добавления: 2015-07-15