Выборочные оценки параметров системы двух случайных величин

При статистическом анализе системы двух случайных величин каждый элемент выборки характеризуется парой чисел - значением случайной величины Х и значением случайной величины Y. Т.е. выборка объема n - это последовательность пар чисел

(6.5.1)

Оценки параметров каждой из величин находятся по формулам (4.3.5) - (4.3.10), например,

и т.д.

Оценка коэффициента корреляции - выборочный коэффициент корреляции - определяется по формуле

(6.5.2)

Среди пар в выборке (6.5.1) могут быть и одинаковые, поэтому при достаточно больших объемах выборки бывает удобно выборку представить в виде табл.8.

Таблица 8

В табл.8 приведены все k различных пар в выборке. - это частота пары Оценки параметров отдельных величин проводятся по тем же формулам, что и выше, а оценка коэффициента корреляции находится по формуле

(6.5.3)

В табл.8 нет одинаковых строк, но могут быть повторяющиеся значения Х и Y. В этом случае бывает удобно выборку представить в виде таблицы, которая по форме похожа на закон распределения дискретной случайной величины (табл.5).

Таблица 9

X			Y
		...		...
		...		...
...	...	...	...	...	...
		...		...
...	...	...	...	...	...
		...		...

В табл.9 среди значений Х и среди значений Y нет одинаковых, - частота пары Очевидно частота значения определяется равенством

(6.5.4)

Частота значения - формулой

(6.5.5)

Это позволяет использовать формулы (4.3.5) - (4.3.10) для нахождения оценок параметров отдельных величин. Оценка же коэффициента корреляции в этом случае определяется формулой

(6.5.6)

На основании данных выборки можно найти оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии (уравнения средней квадратической регрессии). Уравнение регрессии Y на Х имеет вид

(6.5.7)

Уравнение регрессии Х на Y имеет вид

(6.5.8)

Пример 2. Найти оценки параметров и выборочные линейные уравнения регрессии по данным выборки, приведенной в таблице (в последних строке и столбце приведены частоты, найденные по формулам (6.5.4) и (6.5.5)).

Вычисляем оценки математических ожиданий, дисперсий и средних квадратичных отклонений

Для вычисления оценки коэффициента корреляции удобно сначала вычислить суммы

Тогда оценка корреляции по формуле (6.5.6) равна

Уравнение регрессии Y на Х (6.5.7) имеет вид

и после вычислений

Уравнение регрессии Х на Y (6.5.8)

и окончательно имеем

Дата добавления: 2015-07-15