Корреляция и независимость

Кроме числовых характеристик отдельных величин, входящих в систему, существуют и собственные числовые характеристики системы. К ним относятся, в первую очередь, корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Определение 1. Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий.

(6.4.1)

Корреляционный момент, который часто обозначается одной буквой , если ясно о каких случайных величинах идет речь, равен математическому ожиданию произведения случайных величин без произведения их математических ожиданий, т.е.

(6.4.2)

Для дискретных случайных величин корреляционный момент вычисляется по формуле

(6.4.3)

Для непрерывных величин - по формуле

(6.4.4)

Размерность корреляционного момента равна произведению размерностей случайных величин, составляющих систему. Поэтому чаще используется безразмерная числовая характеристика системы - коэффициент корреляции.

Определение 2. Коэффициентом корреляции называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений

(6.4.5)

Коэффициент корреляции обозначается так же или просто , если понятно о каких величинах идет речь. Значение коэффициента корреляции ограничено

Коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной связи между величинами. Поясним это. Связь между случайными величинами можно представить в виде модели

- это линейная часть влияния случайной величины Х на случайную величину Y.

- это случайная величина, зависящая как от нелинейного влияния Х, так и собственной случайной вариации Y, не зависящей от Х. Чем больше линейное влияние по сравнению с , тем ближе к единице Причем если то Чем меньше влияние линейной части по сравнению с тем ближе коэффициент корреляции к нулю.

Приведем свойства коэффициента корреляции.

1. Если то одна случайная величина является линейной убывающей функцией другой

2. Если то с возрастание значения одной случайной величины другая имеет тенденцию к убыванию. Если при этом величины подчинены нормальному закону распределения, то с возрастанием одной величины убывает условное математическое ожидание другой.

3. Если случайные величины независимы, то

4. Если то между величинами отсутствует линейная связь, они называются некоррелированными и являются подозрительными на независимость. Если при этом они подчиняются нормальному закону распределения, то они независимы.

5. Если то с возрастанием значения одной случайной величины другая имеет тенденцию к возрастанию. Если при этом величины подчиняются нормальному закону распределения, то с возрастанием значения одной величины возрастает условное математическое ожидание другой.

6. Если то одна величина является возрастающей линейной функцией другой

Определение 3. Величина, определяемая формулой

(6.4.6)

называется коэффициентом детерминации и показывает какой процент вариации (изменения, колебания, разброса) одной величины вызван линейным влиянием другой.

Пример 1. Найти числовые характеристики системы случайных величин, закон распределения которых приведен в таблице.

По данным этой таблицы найдем математическое ожидание произведения случайных величин Х и Y.

Используя формулы (6.1.2) и (6.1.3) найдем безусловные законы распределения случайных величин Х и Y.

Теперь можно найти числовые характеристики этих величин.

Найдем корреляционный момент по формуле (6.4.2)

Тогда коэффициент корреляции по формуле (6.4.5) равен

Коэффициент детерминации по формуле (6.4.6) равен

Таким образом, существует довольно тесная корреляционная связь между случайными величинами Х и Y, входящими в систему. С возрастанием значения одной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию и 59,3% вариации одной из этих величин вызвано линейным влиянием другой. (Остальные 40,7% вариации вызваны или нелинейным влиянием другой величины, или вообще не связаны с ней).

Дата добавления: 2015-07-15