Гипергеометрическое распределение

Опр. Пусть имеем множество из N элементов, которое состоит из двух подмножеств: в первом M элементов, а в другом N – М. Будем брать из множества N n элементов, в котором содержится m элементов из первого множества М n-m из второго N – М. Тогда говорят, что дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает свои значения с вероятностями

;

где М£ N, n £ N, n, М, N Î N

Ряд гипергеометрического распределения имеет вид:

Х			…	n
рi			…

Теорема: Математическое ожидание гипергеометрического распределения

,

а дисперсия .

Задача: Из 10 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу извлекаются 3 билета. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди отобранных.

хi
рi	10/120	50/120	50/120	10/120

Контроль: 10/20 + 50/120 + 50/120 + 10/120 = 1

4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (О < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 - р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А (т.е. количество испытаний неограниченно). Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k— 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: 1, 2, 3…

Пусть в первых k— 1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая k= 1, 2,... в формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q

По этой причине распределение называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда есть сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньшим единицы, тогда сумма его:

Замечание: если количество испытаний ограничено каким- либо натуральным числом k, то последнее значение вероятности в ряде распределения будет равно q ^{k -1}, означающее, что в предыдущих k -1 испытаниях событие А не появилось.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Составить ряд распределения ДСВХ- количество истраченных снарядов, если а) количество выстрелов неограниченно, б) можно произвести не более трех выстрелов.

Решение. По условию, р=0,6, тогда q=0,4. Если количество выстрелов неограниченно, то Х=N и вероятность истратить Х=k снарядов до первого попадания вычисляется по формуле

,

тогда получим бесконечную последовательность, и ряд будет иметь следующий вид:

Х i			…	k	…
pi	0,6	0,24	…		…

В случае ограниченного количества выстрелов- не более трех, ряд будет иметь вид:

хi
p i	0,6	0,4·0,6=0,24	0,4^2=0,16

Дата добавления: 2015-07-15