Биномиальное распределение

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	— число «испытаний» — вероятность «успеха»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана	одно из
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Содержание [убрать] · 1 Определение · 2 Функция распределения · 3 Моменты · 4 Свойства биномиального распределения · 5 Связь с другими распределениями · 6 См. также

Определение [править]

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину :

.

Тогда , число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с степенями свободы и вероятностью «успеха» . Пишем: . Её функция вероятности задаётся формулой:

где — биномиальный коэффициент.

Функция распределения [править]

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты [править]

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения [править]

· Пусть и . Тогда .

· Пусть и . Тогда .

Связь с другими распределениями [править]

· Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

· Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .

· Если большое, а — фиксированное число, то , где — распределение Пуассона с параметром .

Распределение Пуассона

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 21 ноября 2012; проверки требуют 4 правки.

Распределение Пуассона
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Содержание [убрать] · 1 Определение · 2 Моменты · 3 Свойства распределения Пуассона · 4 История · 5 См. также · 6 Примечания · 7 Литература · 8 Ссылки

Определение [править]

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

· обозначает факториал числа ,

· — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Моменты [править]

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

,

откуда

,

.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

,

где

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона [править]

· Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

· Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно:

.

История [править]

Изначально распределение Пуассона было предложено для моделирования потока входящих телефонных звонков накоммутатор. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи и др.^[1].

Дата добавления: 2015-07-15