Дисперсия ДСВ и ее свойства

Для практических нужд бывает очень важно знать, как группируются значения случайных величины около ее математического ожидания.

Например:

1) при стрельбе из орудия важно, чтобы снаряды ложились кучнее;

2) при измерении какой-то величины важно, чтобы ошибки измерения как можно меньше отличались от их среднего значения.

Задача: Найти мат. ожидание случайной величины Х и У, которые заданы следующими распределениями:

Х:	xi	-0,1	0,1		Y:	yj	-100
	р i	½	1/2			р j	1/2	1/2

М(Х)= -0,1*1/2 + 0,1*1/2 = 0

М(У)=-100*1/2 + 100*1/2 = 0

Математическое ожидание ничего не говорит о том, как рассеяны значения случайной величины вокруг его среднего значения (0). Рассеяние случайной величины характеризуется дисперсией.

Опр. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания данной случайной величины

Задача. Число очков, выбиваемых при одном выстреле любого из двух стрелков, подчиняется следующим законам распределения

Х1:	xi				Число очков, выбиваемых 1 стрелком
	р i	0,3	0,2	0,5
Х2:	хj				Число очков, выбиваемых 2 стрелком
	р j	0,1	0,6	0,3

Кто стреляет лучше?

Так как речь идет о рассеянности, то нужно найти дисперсию

М(Х1) = 1 0,3 + 2 0,2 + 3 0,5 = 2,2

М(Х2) = 1 0,1 + 2 0,6 + 3 0,3 = 2,2

Х1:	xi ^2
	р i	0,3	0,2	0,5
Х2:	хj ^2
	р j	0,1	0,6	0,3

М(Х1²) = 1 0,3 + 4 0,2 + 9 0,5 = 5,6

М(Х2²) = 1 0,1 + 4 0,6 + 9 0,3 = 5,2

Д(Х1) = М(Х1²) - М²(Х1) = 5,6 – 2,2² = 0,76

Д(Х2) = М(Х2²) - М²(Х2) = 5,2 – 2,2² = 0,36

Ответ: лучше стреляет второй стрелок.

Дата добавления: 2015-07-15