ЗАДАЧА 2

Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид (l₃ = 2,8):

1. Найти:

а) параметр распределения С (в виде дроби);

б) математическое ожидание M (X);

в) дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение σ(Х);

г) функцию распределения F (x) случайной величины X;

д) моду ;

е) медиану ;

ж) вероятность осуществления неравенств и .

2. Построить графики функций и F (x). Изобразить на графике функции найденные характеристики и вероятности.

Решение:

1) а) Для того, чтобы была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна удовлетворять: . Следовательно,

Откуда , .

Рисунок 1 – Плотность распределения вероятностей .

б) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Так как случайная величина X является непрерывной, то ее математическое ожидание найдем по формуле

.

Так как,

или

Применяя формулу, найдем

в) Найдем дисперсию случайной величины X.

.

При решении в пункте б) было найдено математическое ожидание случайной величины X: . Найдем математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины . Так как случайная величина X является непрерывной, то математическое ожидание квадрата случайной величины найдем по формуле:

.

Применяя формулу, найдем

Тогда дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

.

г) Функцию распределения непрерывной случайной величины найдем по формуле

,

где - функция плотности распределения вероятностей.

Так как функция плотности распределения вероятностей представлена на трех интервалах разными аналитическими выражениями, то вычислять значение функции распределения вероятностей также будем на трех интервалах.

1) При имеем . Так как подынтегральная функция равна нулю, то и несобственный интеграл с переменным верхним пределом равен нулю, как впрочем, и любой определенный интеграл, у которого подынтегральная функция равна нулю.

2) При исходный интеграл разобьем на два интеграла:

3) При исходный интеграл разобьем на три интеграла:

Таким образом, функция распределения примет вид

Рисунок 2 – График функции распределения .

д) Найдем моду случайной величины X. Модой называется значение случайной величины, которое встречается чаще всего, то есть для непрерывной случайной величины это есть максимум функции плотности распределения вероятностей. Из графика функции плотности распределения вероятностей (рис. 1) видим, что функция достигает максимума в точке и, следовательно, мода .

е) Найдем медиану случайной величины X. Медианой называет - квантиль, то есть медиана делит область значений случайной величины на две равные по вероятности части.

В нашем примере из графика функции распределения (рис. 2) видим, что медиана будет лежать на интервале и ее можно найти из решения уравнения (на интервале имеем ):

,

,

и .

Учитывая, что медиана лежит в интервале , получим .

ж) можно найти либо по определению функции распределения, либо по формуле через плотность вероятности :

.

можно найти либо как приращение функции распределения по формуле, либо по формуле через плотность вероятности :

2)

Рисунок 3.

Ответ: 1 а) параметр ,

б) Математическое ожидание ,

в) Дисперсия , среднеквадратическое отклонение ,

г) Функция распределения имеет вид

д) Мода ,

е) Медиана ,

ж) ,

2). Искомые графики представлены на рис.1. – график функции плотности распределения вероятностей и рис.2 – график функции распределения , а также на рисунке 3.

Дата добавления: 2015-07-15