ЗАДАЧА 1

Среди l ₁ изделий l ₂ – изделия первого сорта. Наудачу выбрали три изделия. случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных трех изделий.

1. Составить закон распределения случайной величины X.

2. Построить многоугольник распределения вероятностей.

3. Найти функцию распределения F (x) случайной величины X, построить ее график.

4. Найти характеристики случайной величины X:

а) математическое ожидание M (X);

б) дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение σ(Х);

в) моду .

5. Найти вероятность того, что число первосортных изделий среди выбранных трех изделий не менее .

Решение: Пусть l ₁ =11 изделий l ₂ =6

1) Пусть случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных трех изделий. Так как из 11 изделий 6 первосортных и выбирается из них 3 работы, то случайная величина X может принимать следующие значения: .

Найдем вероятности того, что случайная величина X примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события , то есть , , , .

Для определения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности

.

Предварительно вычислим число сочетаний из 11 по 3 – число способов, сколькими можно отобрать 3 изделия из 11:

;

m определим, используя правило умножения. Так для Х = 0 – среди трех отобранных изделий - ни одного изделия первого сорта, то есть среди отобранных изделий ноль изделий первого сорта и три изделия не первого сорта:

.

Тогда

.

Рассуждая аналогично, получим:

;

Тогда искомый закон распределения примет вид

X
p

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

.

2) Многоугольник распределения вероятностей случайной величины Х:

3) Функцию распределения дискретной случайной величины X найдем по формуле

,

которая может быть записана в виде

где закон распределения случайной величины X задан в виде таблицы:

В нашем примере имеем:

Таким образом, функция распределения примет вид:

4) а) Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины X найдем по формуле

.

Тогда математическое ожидание

.

б) Дисперсию дискретной случайной величины X найдем по формуле:

где математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины :

.

Найдем

.

Тогда дисперсия

.

Среднеквадратическое отклонение

.

в) Моду найдем по максимальной вероятности в ряде распределения:

.

5) Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

.

Таким образом, вероятность того, что число первосортных изделий среди выбранных трех изделий не менее =2 – вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале , и она равна

.

Можно выразить и по другому:

.

Ответ: 1) закон распределения:

X
p

3) функция распределения

4.) а) математическое ожидание ;

б) дисперсия , среднеквадратическое отклонение ;

в) мода .

5) .

Дата добавления: 2015-07-15