Решение систем нелинейных уравнений.

Система уравнений называется нелинейной, если неизвестные не в 1 степени или входят под знак функции.

Основным методом решения нелинейных систем является приближенная замена нелинейной системы – линейной. Вследствие такой замены процесс нахождения точного значения корня (с заданной точностью) является итерационным, то есть на каждом шаге нахождения корня, если процесс сходящийся, полученное значение корня все ближе к точному. Условием прекращения вычислений, то есть корень найден, является:

Для того чтобы начать вычислительный процесс для поиска корней, необходимо задать начальное значение корня. Корни в случаях 2-х уравнений с 2-мя неизвестными, находят с помощью построения графиков. Если число неизвестных больше 2-х, то задают начальные значения исходя из смысла задачи, физических соображений.

Этот метод решения с.нл.у. основанный на их линеаризации (замена нелинейной зависимости линейной), называют методом Ньютона. При его использовании должно быть задано начальное значение корня. Для простых систем из 2-х уравнений это начальное значение находят графически. Если число неизвестных больше 2-х, то начальное значение корня задают либо исходя из физических соображений решаемой задачи, либо произвольно. В последнем случае может возникнуть расходимость. Поэтому в программе должны быть предусмотрены условия выхода в случае большого числа подшагиваний.

Рассмотрим способы линеаризации.

1. Нахождение уравнений плоскостей, которые бы имели те же характеристики в точке касания функции, что и касательная к плоскости.

При использовании такого подхода нахождение уравнений плоскостей сводится к решению системы линейных уравнений для каждого нелинейного уравнения. Рассмотренный метод линеаризации систем уравнений не используется на практике в виду его сложности.

2. Используем разложение в ряд Тейлора с удерживанием линейных членов разложения.

Задаем точку начального приближения

Приравниваем к нулю полученные линейные разложения:

Далее решаем систему методом Гаусса, как для случая линейной системы уравнений, неизвестные - .

Вычисляем новую точку начального приближения:

Повторяя рассмотренные вычисления для этих аргументов, найдем значения корней на следующей итерации. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будут выполняться условия:

3. Метод простой итерации решения нелинейных систем.

Прием анализа сходимости.

Дата добавления: 2015-07-15