Элементы теории числовых рядов.

§ 1 ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА.

Пусть задана некоторая числовая последовательность . Формальная сумма элементов этой последователь –ности:

(1) называется числовым рядом. Число называется общим элементом (общим членом) ряда, - его порядковым но- мером.

Для каждого натурального числа элементов заданной последовательности можно составить конечную сумму

, (2)

которая называется частичной суммой раяда (1). Частичные суммы сами образуют числовую последовательность, которую можно исследовать на сходимость.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел частич- ных сумм (2), то он называется суммой ряда (1), т.е.

(3) и при этом ряд (1) называется сходящимся. Если предел (3) не существует или бесконечнвй, то ряд (1) называется рас -ходящимся.

Рассмотрим несколько примеров применения определения сходимости ряда при исследовании рядов на сходимость.

1. . Для данного ряда и

. Следовательно, по определению, данный ряд расходится.

2. . Для данного ряда частичные суммы с чётными номерами , а частичные суммы с нечётными номерами . Так как сходящаяся последовательность не может иметь двух раз -личных пределов, то в данном случае последовательность частичных сумм не имеет предела и, следовательно, ряд расходится.

3. . Этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии, для которой . Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле, известной из школьного курса математики:

. В нашем случае

. . Получили конечный предел, поэтому, по определению, ряд сходится.

4. .

Общий член этого ряда можем записать в виде суммы элементарных дробей:

.

Отсюда получаем: , или, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем: . Сле –довательно, и .

Тогда частичная сумма данного ряда:

Тогда сумма ряда - конечное число и ряд сходится.

Так как сходимость ряда, по определению, эквивалентна сходимости последовательности частичных сумм, то для этой последовательности можно применить критерий Коши, кото -рый определяет необходимое и достаточное условие сходи –мости: последовательность сходится тогда и только тог -да, когда для любого числа существует номер , начиная с которого (т.е. для всех ) и для любого натурального числа выполняется неравенс- тво . Так как разность, стоящая под знаком модуля представляет собой разность двух конечных сумм вида (3) элементов ряда (1), то получаем необжодимый и достаточный признак сходимости ряда (1):

ТЕОРЕМА (критерий Коши для ряда) Для того чтобы ряд

сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся номер такой, что для всех и любого натурального числа выполнялось неравенство:

. (4)

Обычно, при исследования рядов на сходимость, этим при- знаком не пользуются. Однако он имеет важные следствия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма элементов ряда (1) вида:

(5) называется - м остатком ряда (1).

Так как в неравенстве (4) число принимает любые натуральные значения, то получаем первое следствие критерия Коши.

СЛЕДСТВИЕ 1. Последовательность остатков ряда является бесконечно малой последовательностью.

СЛЕДСТВИЕ 2.. (Необходимый признак сходимости ряда)

Если ряд (1) сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю, т.е. .

Этот признак является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. В самом деле, рассмотрим так назы- ваемый гармонический ряд . Предел общего члена этого ряда, Однако сумма этого ряда бесконечна.

Докажем это, используя критерий Коши. Возьмём . Если бы ряд сходился, то, для заданного, можно было бы найти номер такой, что для всех натуральных выполнялось бы неравенство: . Однако, при для всех получаем следующее неравенство:

причём это неравенство выполняется для всех , т.е. не-равенство (4) из условия Коши не выполняется и ряд рас -ходится.

Необходимый признак сходимости чаще используется в другом виде:

---

Дата добавления: 2015-07-18