Первый признак сравнения (мажорантный).

ТЕОРЕМА 2. Пусть даны два числовых ряда с положитель- ными членами (1) и (2). Пусть для всех нату- ральных для членов этих рядов выполняются нера -венства:

. (5)

Тогда, если сходится ряд (2) (с большими членами), то сходится и ряд (1), и наоборот, если расходится ряд (1) (с меньшими членами), то расходится и ряд (2).

В самом деле, для частичных сумм этих рядов выполняют- ся неравенства, аналогичные неравенству (5):

.

Известно, что при переходе к пределу знак неравенства сохраняется, т.е. . Если ряд (2) сходится, то получаем неравенство и ряд (1) также сходится, и наоборот, если ряд (1) расходится, то по – лучаем неравенство и ряд (2) также расходит- ся.

Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость следую- шие ряды:

1. .

Судя по виду ряда, можно предположить, что сравнивать его

будем со сходящимся рядом (сумма сходящейся гео- метрической прогрессии). Числитель дроби принимает значе- ние 4 при чётных и 2 при нечётных значениях .

(Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна ). Следовательно, исходный ряд сходится.

2. . Учитывая ограниченность функции , можем предположить, что ряд расходится, при данном отношении старших степеней в числителе и зна- менателе дроби. Если вспомнить, что дробь уменьшается, если уменьшить её числитель и увеличить знаменатель, то по- лучим следующее неравенство:

Ряд, стоящий справа - это обобщённый гприонический ряд с , поэтому он расходится. Поэтому расходится и ис – ходный ряд, элементы которого больше элементов этого ряда.

Замечание 1. Теорема 2 останется верной, если неравенство (5) выполняется не для всех натуральных значений , а толь- ко начиная с некоторого номера (на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа слагаемых).

Замечание 2. Выводы теоремы 2 остаются верными, если для элементов рядов выполняется неравенство:

, (6) где - произвольная постоянная.

2. Второй признак сравнения (предельный)

ТЕОРЕМА 3. Пусть даны два ряда со строго положи- тельными членами (1) и (2), для элементов которых выполняется условие:

. (7)

Тогда ряды (1) и (2) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и

расходятся одновременно.

В самом деле, из определения предела следует, что для любого найдётся номер , начиная с которого (т.е. для всех ) выполняется неравенство

,

Отсюда, .

Учитывая замечание 2 из предыдущей теоремы, из сходимости ряда (2), по неравенству (6), следует сходимость ряда (1), и наоборот, из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

В частности, если , то равенство (7) означает экви -лентность рядов (1) и (2) ( ~ ).

Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. . Общий член этого ряда

~ при .

Тогда . Ряд расходится, как

обобщённый гармонический ряд с . Тогда расходится и исходный ряд.

2. . Для данного ряда, применяя таб- лицу эквивалентных бесконечно малых функций, получим:

~ ~ ~ .

Ряд сходится, так как , следо- вательно исходный ряд также сходится, так как предел отно- шения общих членов этих рядов равен 1 (т.к. они эквивалент- ны).

3. Признак Даламбера.

Пусть для элементов ряда (1) выполняется условие:

. (8)

Тогда, если , то ряд (1) сходится; если , то ряд (1) расходится; если , то данный признак не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

В самом деле, из определения предела следует, что для любого найдётся номер , начиная с которого (т.е. для всех ) выполняется неравенство: , или, что то же самое

. (9)

Пусть . Выберем так, чтобы . Тогда

из правой части неравенства (9), получаем , или Таким образом, получаем следующее неравенство:

, которое выполняется для всех .

Ряд, стоящий справа, представляет собой сумму сходящей- ся геометрической прогрессии (). Тогда, по первому при- знаку сравнения, ряд, стоящий в левой части неравенства, также сходится. По следствию 3 из предыдущего параграфа, получаем сходимость ряда (1).

Пусть . Выберем так, чтобы . Тогда , т.е., начиная с номера , члены ряда (1) образуют возрастающую последовательность и не выполняется необходимый признак сходимости рядов.

Поэтому ряд (1) расходится.

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. . , .

Тогда получаем:

.

По признаку Даламбера, ряд сходится.

2. . Для данного ряда . Тогда .

Применим признак Даламбера:

(степень числителя меньше степени знаменателя). Поэтому ряд сходится.

3. . Здесь , следователь- но . После сокра-

щения, получаем:

(степень числителя больше степени знаменателя). Следова – тельно данный ряд расходится.

Замечание. Признаком Даламбера удобно пользоваться в случае, если общий член ряда содержит - ые степени, фак – ториалы, бесконечные произведения.

4. Признак Коши (радикальный)

Пусть для элементов ряда (1) выполняется условие:

. (10)

Тогда, если , то ряд (1) сходится; если , то ряд (1) расходится; если , то данный признак не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

В самом деле, равенство (10) означает, что для любого найдётся номер такой, что для всех выпол– няется неравенство , или .

Пусть . Выберем таким образом, чтобы . Тогда, для выполняется неравенство:

. В этом случае элементы ряда (1) меньше элементов сходящейся геометрической прогрессии и, по первому признаку сравнения, ряд (1) сходится.

Если , выбираем так, чтобы . Тогда и не выполняется необходимый признак сходимости. Поэтому при данном условии ряд (1) рас- ходится.

Чтобы пользоваться признаком Коши при исследовании рядов на сходимость следует знать такие факты:

1) ; 2) для любых фиксиро -ванных значений .

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. .

поэтому ряд сходится.

2. .

Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Радикальный признак Коши чаще всего приме -няется, если общий член ряда содержит - ые степени, но иногда приходится применять этот признак в случае, если общий член ряда содержит факториал. В этом случае при вычислении корня приходится использовать формулу Стир –линга: при выполнено .

3. Исследовать на сходимость ряд .

По признаку Коши:

и, следовательно, данный ряд сходится.

5. Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд (1). Составим функцию таким образом, чтобы для всех натуральных чисел выполнялось равенство . Если полученная функция является непрерывной, положительной и невозрастающей на промежутке , то выполняется следующее условие:

Если сходится необственный интеграл

, (11) то сходится и ряд (1), и наоборот, если расходится интеграл (11), то расходится и ряд (1).

В самои деле, если , то, так как функция не- возрастающая, . Тогда, по свойству ин- тегралов, , или

. Суммируем данное не-

равенство по от до , получим:

. (12)

Перейдём в данном неравенстве к пределу при .

В правой части неравенства, если интеграл сходится, то . Предел конечный, поэтому ряд сходится. Если интеграл расходится, то, учитывая левую часть неравенства, получим . Сле- довательно ряд также расходится.

С помощью интегрального признака легко устанавливить условия сходимости обобщённого гармонического ряда

,

которые мы уже использовали, применяя признаки сравнения.

Рассмотрим функцию . Она непрерывная, положительная и неубывающая при . Можем применить интегральный признак.

Пусть , тогда

Интеграл сходится, поэтому и ряд сходится.

При

Интеграл расходится, следовательно, ряд также расходится.

Интегральный признак удобно применять в случае, если интеграл хорошо вычисляется.

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. . Рассмотрим функцию . Она положительная, убывающая и непрерывна при .

Тогда

сделаем замену: при , при . Получим:

Интеграл сходится, следовательно, и ряд также сходится.

2. . Соответствующая функция имеет вид: . Она положительная, непрерыв- ная и убывает на промежутке . Исследуем на сходи - мость несобственный интеграл:

сделаем замену переменной:

при ; при . Тогда получим:

.

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

§ 3 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ.

Рассмотрим ряд:

, (1) элементами которого являются произвольные действительные числа. Соответствующий ему ряд из абсолютных величин:

(2)

ТЕОРЕМА 1. Если сходится ряд (2), составленный из абсо- лютных величин, то сходится и ряд (1).

В самом деле, если ряд (2) сходится, то, по критерию Коши, для любого существует номер , такой что для всех и всех натуральных значений выполняется неравенство

.

Тогда для элементов ряда (1) выполняется неравенство:

.

Следовательно, по критерию Коши, данный ряд сходится.

При этом ряд (1) называется абсолютно сходящимся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Ряд (1) называется условно сходящимся, если данный ряд сходится, а соответствующий ему ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Частным случаем знакопеременных рядов являются так на- зываемые знакочередующиеся ряды.

Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого члены с номерами и для любых натуральных значе- ний имеют противоположные знаки, т.е. ряды вида:

, (3) где .

ТЕОРЕМА 2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

(3) сходится, если модули его элементов убывают с воз- растанием , т.е. для всех выполняется неравенство ( и выполнен необходимый признак сходимости, т.е. .

В самом деле, рассмотрим частичные суммы ряда (3) с четными и нечетными номерами:

;

.

Преобразуем первую из двух сумм двумя способами:

и

. Учитывая условие , в первом представлении четных час – тичных сумм каждая скобка является положительной, и поэ- тому последовательность четных частичных сумм является возрастающей. Из второго представления, так как каждая скобка по - прежнему, положительна, следует, что . Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху последо- вательность имеет предел, т.е. существует . Так как , то учитывая условие , получим: . Следовательно, для всех частичных сумм и ряд сходится.

Данная теорема определяет признак сходимости знакопере - менного ряда.

Признак Лейбница. Ряд (1) сходится условно, если выпол- няются два условия: для всех ( и .

Рассмотрим несколько примеров исследования знакочереду- ющихся рядов на сходимость.

ПРИМЕРЫ:

1. . Соответствующий ряд из абсолют- ных величин , , . По признаку Даламбера,

.

Ряд из абсолютных величин сходится по признаку Даламбера. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

2. . Ряд из абсолютных величин имеет вид: . Общий член этого ряда . При ~ . Ряд расходится как гар- монический ряд. Поэтому нет абсолютной сходимости исход- ного ряда. Проверяем условную сходимость данного ряда по признаку Лейбница. Условие : подставляя в , получаем неубывающую цепочку и условие . Следовательно, ряд сходится условно.

3. . Ряд из абсолютных величин . По признаку Даламбера,

.

Следовательно, нет абсолютной сходимости исходного ряда.

Проверим выполнение условия признака Лейбница, исполь- зуя формулу Стирлинга,

. Тогда ряд расходится, так как не выполнен необходимый при -знак сходимости ряда. (при и ).

В заключение параграфа, приведём ещё одну теорему, ко- торая имеет важное значение в приложениях теории рядов для приближённых вычислений.

ТЕОРЕМА 3. Сумма остатка знакочередующего ряда, удо- влетворяющего условию Лейбница: удовлетворя -ет следующему условию: и её знак совпадает со знаком .

Теорему доказывать не будем. Рассмотрим пример: вы -числить сумму ряда с точностью .

Учитывая теорему 3, есть смысл записывать слагаемые до тех пор, пока очередное слагаемое по модудю не станет меньше . Это будет означать, что сумма остатка ряда будет меньше и получим нужную точность вычисления.

---

Дата добавления: 2015-07-18