Если , то ряд (1) расходится.

Например, ряд расходится, так как

СЛЕДСТВИЕ 3. Если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2), и наоборот, из сходимости ряда (2) следу- ет сходимость ряда (1). Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа первых слагаемых или добавление конечного числа слагаемых.

В самом деле, при отбрасывании или добавлении конеч -ного числа слагаемых в ряде (1) частичные суммы получен- ных рядов уменьшаются или увеличиваются на конечное число и, в резкльтате, предел остаётся конечным.

В заключение параграфа приведём ещё алгебраические свойства сходящихся рядов:

1. Если сходится ряд и его сумма равна , то сходится и ряд и его сумма равна .

2. Если и два сходящихся ряда, то

сходятся и ряды и суммы их равны, соот- ветственно .

§ 2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ

ЧЛЕНАМИ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ

В данном параграфе рассматриваем ряды , для которых для всех . Для таких рядов последова- тельность частичных сумм является монотонно возрастающей (неубывающей). Поэтому необходимый и достаточный при -знак сходимости таких рядов даёт теорема:

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы ряд с положительными членами сходиля необходимо и достаточно, чтобы последова- тельность его частичных сумм была ограничена.

В самом деле, если ряд сходится, то сходится после -довательность частичных сумм этого ряда, а любая сходя -щаяся последовательность является ограниченной.

С другой стороны, любая монотонная ограниченная после- довательность всегда имеет предел, а если последова- тельность частичных сумм имеет предел, то ряд сходится.

Признаки сравнения рядов. Пусть даны два числовых ряда с положительными членами: (1) и (2).

Чтобы применять признаки сравнения, корорые будут приведе- ны ниже, нам необходимы знать некоторые сведения о рядах, которые будем выбирать для сравнения.

Во – первых, это известная из школьного курса математики сумма элементов геометрической прогрессии с первым эле -ментом и знаменателем :

. (3)

Частичная сумма этого ряда:

.

Очевидно, что конечный предел этих частичных сумм су- ществует только в случае, если и только при этом условии ряд (3) сходится. Если , то данный ряд расхо- дится.

Во – вторых, это так называемый обобщённый гармони -ческий ряд:

(4)

---

Дата добавления: 2015-07-18